Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 7. Beweis des Reciprocitittsgesetzes. 59
Aus der Vergleichung dieser beiden Gleichungen folgt:
P 2 3*. ( )z- 2 3'2- 2
Mithin ist:
P^ -1))1,?:f'-~(7 1),- 1, (-1)
oder:
- 2(t)- (-1),-,
Nun ist aber, weinn man die Vielfachen von p weglä[st, 2(1 der
Wert des Ausdrucks (7-). Demnach erhält man in Übereinstimmung
nit dem Ausspruch unseres Hüilfssatzes:
() - (- 1)".
387.
Da die Zahl tt, je nachdem sie gerade oder ungerade ist, den
Wert des Ausdrucks () bestimmt, so ist es von Wichtigkeit, einen
analytischen Wert dieser Zahl zu haben. Dazu bemerke ich,
dafs, wenn man miit a eine der Zahlen a', a",... a2 und mit b eine
der Zahlen b, b", ~ b' bezeichnet, den schon gemachten Voraussetzungen zufolge 2a <p2 und 2b >p ist.
Wie gewöhnlich stellen wir durch E(x) die gröfste in irgend
einer Zahlgröfse x enthaltene ganze Zahl dar, so dafs x- E(x)
stets ein positiver Bruch, kleiner als die Einheit, ist.
Betrachtet man die verschiedenen Vielfachen k, 2k, * *,
aus denen die Reste a', b',... entspringen, und bezeichnet man insbesondere mit Ak das Vielfache, welches den Rest a, und mit Bk
dasjenige, welches den Rest b giebt, so hat man:
Ä P
Ak - ( A1 ( ) l
B 7i E, Bk7 )> t
Folglich:
E ^(- - 2E (17)=
EL( 2 ) - 2 E ( o-) 1.
Addiert mlan alle Gleichungen, welche analog für alle Werte von