Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

58 Vierter Hauptteil.
Zunächst ist klar, dafs die Reste b', b", b"',.. von einander
verschieden sind. Denn wenn zwei dieser Reste, welche aus den
Vielfachen kA, vA' sich ergeben, einander gleich wären, so müfste
die Differenz k(A' - A) durch p teilbar sein. Dies ist aber nicht
der Fall, da p eine Primzahl ist, welche weder in k noch in A'- A
aufgeht und zwar letzteres deshalb, weil A' und A ungleich und kleiner
als 2p sind. Ebenso wird bewiesen, dafs die Reste a, a, a...
sämtlich von einander verschieden sind.
Es sind demnach die Zahlen p - b', p - b, p - b",... sämtlich
ungleich und kleiner als — 2p. Ich behaupte aber, dafs keine von
ihnen gleich einer der Zahlen a', a", "',... sein kann. Wenn nämlich zwei solche Reste a und b aus den Vielfachen kA, kA' entstehen, so kann man a = A - px, b =- kA - px' setzen. Wäre
also p- b =a, so würde sich p(1 +- x + x') -= k7(A - A') ergeben;
es meifste also k (A + A') durch p teilbar sein. Nun ist aber weder
k noch A + A' durch p teilbar, weil A und A' beide kleiner als
2 p sind. Mithin ist die vorige Gleichung unmöglich.
Da nun also die beiden Reihen a', a, a',. a und p -,
) - ", p - ",... - bA aus verschiedenen positiven Zahlen,
welche kleiner als 2 p sind, bestehen, da ferner die Gesamtzahl; + Zi der Glieder dieser beiden Reihen gleich -p- 1), also gleich
der Anzahl der Vielfachen 7k, 2k, 3k.. p2 7- ist, aus denen sie
entstehen, so folgt daraus, dafs das Produkt aller dieser Zahlen nur
1 2 -3 P -- sein kann, und dafs somit die Gleichheit besteht:
'a"a "... a (- ')(p- b") f( -b= 1 2.32. p —! _.Läfst man in dieser die Vielfachen von p weg, so erhält man:
ad '... '. a.b bb"... b 6(- l)- =1.2.3... -- 1
Andrerseits hat man aber auch, ebenfalls bis auf Vielfache von p:
k.27. 3.. * p - - -7 == a' a" (a'" a' b b 1 "... b,
2
und die linke Seite dieser Gleichung ist gleich:
1. 2.3... S _ 1. 1
\ ~ ' ( ' - <. ~" 2