Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 7. Beweis des Ieciprocitätsgesetzes. 57
U2 =2Y2Y - 2 YZ + a+Z
welche nur eine Lösung besitzt. Mithin ist die Gesamtzahl der
Lösungen 2131 - 1. Diese Lösungen aber, welche alle von einander
verschieden sein müssen, enthalten notwendig alle quadratischen Teiler
der Formel t2 - au2, sowohl die von der Form 4n + 1, wie die von
der Form 4n- + 3. Mithin hat man 2M1- 1 -= + N oderM= N+ 1,
und hierin besteht der Satz, welcher bewiesen werden sollte.
Be merkung. Da in dem soeben behandelten Falle die Formel
it + ct'a stets wenigstens drei quadratische Teiler hat, inäimlich den
Teiler
y2 + 2yz (+ (L + 1)2,
den zu ihlm konjugierten
a + 1
2y2 + 2y + <
und den singtlucren Teiler
2fy2 + 2Syz + /'ß
welcher nur in dem einzigen ausgeschlossenen Falle a - minit den
vorigen übereinstimm-t, so folgt daraus, dafs es stets wenigstens einen
quadratischen Teiler von der Form 4n1 + 3 giebt. Dies rechtfertigt
die imi Artikel 171 gemachte Annahme, von welcher der 1Beweis des
Reciprocitätsgesetzes abhing.
~ 7.
Beweis des Satzes, welcher das zwischen zwei beliebigen Primzahlen
bestehende Reciprocitätsgesetz enthält (No. 166).
386.
iHülfssatz. Ist 2) eine positive Primzahl (aufser 2) und k7
eiie beliebige durch p nicht teilbare ganze Zahl und dividiert nman die aufeinanderfolgendclen Produkte k, 2 72, 3k,..- k
durch p, so werden die Reste, welche bei diesen Divisionen
üibrig bleiben, zum Teil aus Zahlen a', ca", a",... a2, welche
kleiner als - p sind, zum Teil aus Zahlen b', b", ',.. b>,
1
welche gröfser als -- p sind, bestehen. Bezeichnet tl die
Anzahl dieser letzteren Reste, so behaupte ich, dafs allgemein ($) -(-1) ) ist, also ( + 1, falls l gerade, und
( -) = - 1, falls un ungerade ist.