Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

54 Vierter Hauptteil.
382.
Satz 5. Ist p eine Primzahl ebenso wie a, und hat mlan
pS = M2 + aN2, so wird p oder 2p notwendig von derselben
Form t2 +- au2 sein, so dafs p entweder zu dem quadratischen Teiler y2 + 2yz + (a+ 1)z2 oder zu dem konjugierten
2y2+ 2y + a2 gehört.
Die gegebene Gleichung p2 = M2 + aN2 ergiebt nämlich
p2 -M2 = a N2. Da nun a eine Primzahl ist, so mufs einer der
Faktoren p + M, p - M durch a teilbar sein, und da das Zeichen
von Mwillkürlich angenommen werden darf, so kann man p +- 1= a2P,
p - M=- Q setzen, wodurch sich PQ = N2 ergiebt. Dieser Gleichung
genügt man aber allgemein, indem man mit Zuhülfenahme von neuen
unbestimmten Gröfsen: P=- z2R, N= coRI, Q== eG2 setzt. Man
erhält daher:
2p = — aP + Q = t (2 + af2),
woraus man erkennt, dafs Ri nur 1 oder 2 sein kann. Ist =- 2,
so wird p 2 co + -ac2; ist R = 1, so wird 2p -- co2 + az2. Mithin
ist p oder 2p notwendig von der Form t2 + au2. Ist aber p von
der Form t2 + au2, so ist es in dem quadratischen Teiler y2 + az2,
welcher derselbe ist wie y2 + 2y +- (a + 1)z2, enthalten. Es kann
daher p nur zu diesem einzigen Teiler gehören. Ebenso gehört p,
wenn 2p die Form ts + au2 besitzt, zu dem quadratischen Teiler
2y2 + 2yz + a+ 1 z und nur zu dieser allein. Mithin mufs, falls
p2 M== -/2 + aN2 ist, p zu einem der beiden konjugierten Teiler
y2 + 22y + (a + 1)z2, 2y2 + 2/yz- a+ 2 z2 gehören.
383.
Satz 6. Ist p eine beliebige Primzahl und a eine Primzahl von der Form 8-n+1, ist fernerp2=-2M'+ 22MN+4-
d. h. besitzt 2p2 die Form P2 + CaN2, so gehört p notwendig
zu dem singulären quadratischen Teiler fy2+-2gyz- 2f2, so
dafs p == fg2 + 2ggv + 2fv2 ist.
Denn da a eine Primzahl von der Form 8n + 1 ist, so kann
man a= 2f2 - g2 setzen, und wird dieser Wert in die Gleichung
2 =2 == P2 -+ aN2 substituiert, so ergiebt sich:
2- 2p2 = (g2 - 2/2) T2.
Da die Zahlen P und p prim zu einander sind, so sieht man, dafs