Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 6. Eine Eigenschaft der quadratischen Teiler von t2 + acl62 u. s. w. 53
lären Teiler bestehen. Die Gesamtzahl dieser Teiler ist somit
stets eine ungerade Zahl, und es ist daher unmöglich, dafs
die Anzahl der Teiler von der Form 4n + 1 geich der Anzahl der Teiler von der Form 4n - 3 sei.
381.
Satz 4. Das Quadrat eines quadratischen Teilers
py2 + 2qyz +- 2rzz und das Quadrat des zu ihm lkonjugierten
Teilers 2py2 - 2qyz -+ iz sind in einemn und demselben quadratischen Teiler p2y2 + 2ypz + 4- 2 enthalten.
Denn bestimmt man dem in No. 363 angegebenen Verfahren
gemäfs ^ und v durch die Gleichung:
Z.P - qv,
und setzt manu sodlanl:
Yp - -- q + V2-, ~ - P v +- 2+G
y 2 - -_- 2,y - ~ -2, = 2Z (vP/ + q\)
so erhäl t man:
(py2 + 2 qyz + 2Yz'2)= 2 pY + 29 YZ + ~Z2.
in dieser Gleichung, welche identisch stattfinden mutfs, setzen wir
2y an die Stelle von y, und da alsdann Y ebenso wie Z gerade wird,
so setzen wir ferner Y = 2Y', Z = 2Z'. Dies giebt:
Y' = 2/y2 - 2vy - - z-2, = Z (2py + z).
Werden diese Werte eingesetzt und dividiert man darauf durch 4,
so wird:
(2py/ + 2qys + z2)2 — p2Y' + 2 Y'Z' + '2.
Miithli ent:hält derselbe quadratische Teiler p2y' + 2qyz +- z2, in
welchel l das Quadrat des Teilers py2 + 2qyz + 272zz entlhalten ist,
auch das Quadrat des zu ihm konjugierten Teilers 2p2yS — 2qz -,-x'2
Folgerung. Ist die Gleichung U2 = PY2 + 2 QYZ + 11Z2
gegeben, und kennt man davon eine in der Formel
U = py2 + 2qyz + 22zs
enthaltene Lösung, so giebt es immer noch eine andere Lösung, welche
durch die konjugierte Form U= 2py2 - 2qyz -+ zr geliefert wird.
Diese beiden Lösungen verschmelzen zu einer, wenn der Wert von U
gleich dem singulären quadratischen Teiler ist, d. h. wenn man
U fy+ -S 2gy- + -22 hat; alsdann würde aber die rechte Seite
der gegebenen Gleichung von der Form 2 Y- + 2 YZ + c Zs sein.