Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

)2? oVierter Hauptteil.
U2 = 1y2 + 2qyz + 2 nz2
unmöglioch sein wvrde, da, kein Quadrat die Form 4n- + 3 besitzen kann.
379.
Satz 2. Ist a eine Primzahl von der Form 8n + 1, so hat
die Formel t2 + cat2 stets einen quadratischen Teiler von der
Form fy' + 2gyz +- 2fz2.
Man kann nämlich stets (No. 149) der Gleichung a ==2f-g2
genügen, woraus folgt, dafs fy2 + 2gyz + 2fz2 oder der einfachste
Ausdruck dieser Formel ein quadratischer Teiler der Formel t2 + ca t2 ist.
Man beachte, dafs sich der Teiler fy2 + 2yyz + 2fz2 von dem
zu ihm konjugierten nicht unterscheidet. In diesemi Falle reducieren
sich demgemäfs die beiden konjugierten Teiler a, uf einen einzigen,
den man einen singulären Teiler nennen kann.
380.
Satz 3. Ist a eine Priiizahl. von der Form 8n- l, so giebt
es stets unendlich viele Werte von f und g, welche der
Gleichung 2f2 -g2 a genügen; trotzdem aber kann daraus
nur ein einziger quadratischer Teiler der Formel t2 + a9,2
sich ergeben.
Denn man findet leich (No. 38), dafs die Reihe der Werte von
f und f, welche der Gleichung 2f2 -- g2 ==a genügen, so beschaffen
ist, dafs, wenn f' und g' die unmittelbar auf f und g folgenden Werte
sind, die Gleichungen bestehen:
f' =3f 2g, g'= 3g + 4f.
\Aus diesen neuen Werten entsteht der singuläre quadratische Teiler:
(3/f+ 2y-)y2 + 2(3g + 4f)y +- 2(3f 2f)-.
Setzt,man. aber in diesem Teiler:
y = 22' - y, y'- Z',
(wodurch die Allgemeinheit der Veränderlichen y und z nicht beschränkt wird), so erhält man als transformierten Teiler:
fy'2 + 2gy'z' + 2fz'2,
woraus ersichtlich ist, dafs sich in der That der quadratische Teiler
f'y2 - 2+'?y +- 22f'z nicht von /y2 +- 2gyz + 2fz2 unterscheidet.
Folgerung. Es folgt hieraus, dafs, wenn a eine Primzahl von
der Form 8n + 1 ist, die quadratischen Teiler der Formel t2 + auz2
aus mehreren Paaren von konjugierten Teilern und aus einem singu