Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 6. Eine Eigenschaft der quadratischen Teiler von t2 + au2 u. s. w. 51
stets der eine zu der Form 4n + 1, der andere zu der Form 4n + 3
gehört, so dafs es also in diesem Falle ebenso viele quadratische
Teiler von der Form 4n- + 1 als Teiler von der Form 4n + 3 giebt,
und dieses Resultat gilt immer, wie beschaffen auch a sein möge,
wofern es nur von der Form 8n + 5 ist.
Ist dagegen a von der Form Sn + 1, so sind die beiden in
Rede stehenden conjugierten Teiler entweder alle beide von der Form
4n - 1, oder alle beide von der Form 4n + 3, so dafs man nichts
mehr über die relative Anzahl beider schliefsen kann. In der That
zeigt der Anblick der Tafel IV, dafs in dieser Hinsicht eine grofse
Unregelmäfsigkeit stattfindet. Ist jedoch a eine Primzahl, so
sieht man aus eben dieser Tafel, dafs die Anzahl der quadratischen Teiler von der Form 4n + 1 beständig um eine
Einheit gröfser ist, als die Anzahl der quadratischen Teiler
von der Form 4,n + 3. So findet man z. B., dafs die Formel
t2 + 41u2 drei quadratische Teiler von der Form 4n- + 1 und nur
zwei von der Form 4n + 3 besitzt; ebenso dafs die Formel t2 + 89tu2
vier quadratische Teiler von der Form 4n - 1 und nur drei von der
Form 4n + 3 hat u. s. w.
Man kann sich leicht von dieser Eigenschaft bei vielen andern
besonderen Fällen überzeugen; jedoch ist es nicht ebenso leicht, dieselbe in allgemeiner und strenger Weise zu begründen. Wir geben
im Folgenden die Reihe der Sätze, welche für diesen Beweis nötig
zu sein scheinen. Dieselben bieten zugleich verschiedene bemerkenswerte Resultate, welche dazu beitragen können, die vorstehenden
Theorien zu erweitern und zu vervollkommnen.
378.
Satz 1. Ist a eine Primzahl von der Form 4n + 1, und
ist py2 + 2qyz + 2msz einer der quadratischen Teiler der
Formel t2 + Cat2, welcher ebenfalls von der Form 4n + 1
ist, so ist die Gleichung U2 py2 q+ 2qyz +- 2m2 stets auflösbar.
Denn multipliciert man diese Gleichung mit p, und setzt man
py+ q- = x, so erhält man p U2= x2 + — a2, eine Gleichung, welche
stets möglich ist. (Siehe No. 27 und 198.)
Es braucht nicht erst bemerkt zu werden, dafs, wenn
py 2 + 2qyz + 2mz2
ein Teiler von der Form 4n? + 3 wäre, die Gleichung
4 i.