Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

50) Vierter Hauptteil.
x 9y2 + 2yz + 10z2
x' 5y'2 + 2/y'' + 18z'2.
Zunächst findet man nach den Formeln von No. 363 oder von No. 367:
x- OT2 + 2TV + 18V2
T - -- Sz + 2z2
V- 2y2 + 2yz- 2z2.
Multipliciert man sodann den Wert von x2 mit dem Werte von x',
so findet man mit Hülfe der ersten der beiden Formeln in No. 363:
x2x' = (5Ty' + Tz' + V' + 18 V')2 + 89(Tz'- V')2.
Vergleicht man dieses Resultat mit der gegebenen Gleichung
t2 + 89 u2 = x"x',
so erhält man:
t 5 T'y' + T'z'+ Vy' + 18 z'
- = T'' - Vy'.
Hieraus erkennt man, dafs die vier unbestimmten GröSsen t, t, x, x'
ausgedrückt sind als Funktionen von vier andern von einander unabhängigen Gröfsen y, z, y', und dies bildet die erste Lösung. Durch
ähnliche Rechnungen findet man die sechs anderen Lösungen, welche
die gegebene Gleichung besitzt.
Bemerkung. Bei einiger Aufmerksamkeit wird man sehen, dafs
sich diese Theorie leicht auf den Fall ausdehnen liefse, wo die linke
Seite der gegebenen Gleichung ein Teiler der Form t2 - at2 ist.
Mittelst derselben Prinzipien würde man auch die Fälle auflösen
können, wo die unbestimmten Gröfsen auf der linken Seite der Gleichung einen gemeinschaftlichen Teiler haben sollen. Wir haben es
jedoch nicht für nötig gehalten, auf alle diese Einzelheiten, welche
keine Schwierigkeiten darbieten, näher einzugehen.
~ 6.
Beweis einer Eigenschaft, welche sich auf die quadratischen Teiler
der Formel t' + (- i2, in welcher a eine Primzahl von der Form
8n + 1 ist, bezieht.
377.
Wir haben bereits in No. 217 bemerkt, dafs, wenn in der Formel
t2 + - au2 die Zahl a von der Form 8n + 5 ist, von zwei conjugierten
Teilern dieser Formel, z,. B. py+2 - -qyvz - 2 z und 2)y2 +- 2qyz + ci t-,