Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 5. Ganzzahlige Auflösung der Gleichung Ly" + Mzy + Nzi =b7c. 4!)
t2 + 89ut2 (y2 + 89z2)3
welcher man geniiüt, indem man setzt:
t + u 1/ 89 = ( + z/- 89)3.
Auf diese Weise findet man:
t -y -267yz2
ut 3 3y2 - 89 3.
Die zweite Lösung, welche darauf beruht, dafs D3 A ist,
ergiebt sich folgendermafsen.
Setzt man:
x D = 5y2 + 2y +- 18z,
und wendet man auf diesen besonderen Fall die Formeln in No. 367
an, so erhält man:
p =5, q 1, r = 18, p -6, - =1.
Dies giebt:
x3= 125 2 + 12 YZ+ Z2
y =y - 3y2z.-2_ 12y_2 + 2z3
Z 75.y2z + 30yz2 - 86z3.
Der Wert von x3 läfst sich aber auf die Form bringen:
= (Z + 6 Y) + 89 y2.
Vergleicht man dieselbe mit der gegebenen Gleichung, so erhält man:
t Z+ 6Y
u= Y.
Mithin wird schliefslich die zweite Lösung dieser Gleichung gegeben
durch die Formeln:
x = 52 + 2y + 18z2
t = ()3y + 57yz- 42yz2 - 74z3
==, /y3 _- 3yz - 12yz2 _+_ 2
376.
Fünftes Beispiel.
Wie bereits bemerkt worden ist (No. 370), besitzt die Gleichung
t2 + 89ut2 X2X'
sieben Lösungen, weil die Form A aus den sieben Combinationen
A2A, B2A, C2D, D2D,.E2B, F2C, G2C sich ergiebt. Um eine
dieser Lösungen zu entwickeln, nehmen wir die Combination C2D
und setzen demzufolge:
Legendre, Zahlentleorie II. 4