Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

IV Inhaltsverzeichnis zum zweiten Bande.
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Zieht man die Gesamtheit der quadratischen Teiler einer und derselben
Formel t2 + au2 in Betracht, so kann man alle Formen bestimmen,
welche die Produkte von je zweien, dreien, u. s. w. dieser Teiler,
mögen diese gleich oder ungleich sein, annehmen kann..... 41
~ 5. Ganzzahlige Auflösung der Gleichung Ly2 + Myz + Nz2 = bzr, in
welcher 7 das Produkt von mehreren unbestimmten Zahlen oder deren
Potenzen ist.................... 43
Nachdem die rechte Seite von dem konstanten Faktor b befreit worden
ist, wird gezeigt, wie die Auflösung dieser Gleichung sich aus den
im vorigen Paragraphen gegebenen Entwicklungen herleitet... 44
Mehrere Beispiele........................ 45
~ 6. Beweis einer Eigenschaft, welche sich auf die quadratischen Teiler der
Formel t2 + au 2, in welcher a eine Primzahl von der Form 8 n + 1
ist, bezieht.......................... 50
Nach Aufstellung einiger Hülfssätze wird beweisen, dafs die Gleichung
U2 = PY2 + 2 Q YZ + R Z, in welcher PR - Q = a ist, nur
zwei Lösungen besitzen kann, und dafs diese sich auf eine einzige reducieren, wenn die gegebene Gleichung die Form
U2 =2 2 + 2 YZ + a Z2
besitzt........................... 55
Daraus folgt, dafs die Anzahl der die Form 4n+l besitzenden quadratischen Teiler der Formel t2+ -au2 stets um eine Einheit gröfser
ist als die Anzahl der quadratischen Teiler derselben Formel,
welche von der Form 4n + 3 sind............... 56
~ 7. Beweis des Satzes, welcher das zwischen zwei beliebigen Primzahlen bestehende BReciprocitätsgesetz enthält............... 57
~ 8. Über ein sehr bemerkenswertes bei der Auszählung der Primzahlen beobachtetes Gesetz....................... 65
Vergleichung der Formel mit den Tafeln............. 66
Mittlerer und wahrscheinlicher Wert der Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen................ 67
Summation einiger Reihen, welche vom Gesetz der Primzahlen abhängen.......................... 67
Versuch, die durch Induktion gefundene Formel zu beweisen.... 69
~ 9. Beweis verschiedener Sätze iber die arithmetischen Progressionen....71
Bezeichnet man mit;r das k - te Glied in der Reihe der Primzahlen
3, 5, 7, 11,..., so giebt es unter X aufeinanderfolgenden Gliedern
einer beliebigen arithmetischen Progression stets wenigstens eins,
welches durch kein Glied aus einer Reihe von k beliebigen Primzahlen teilbar ist...................... 76
Daraus folgt, dafs jede arithmetische Progression, deren Anfangsglied
und Differenz relative Primzahlen sind, unendlich viele Primzahlen
enthält........................... 77
~ 10. Es wird bewiesen, dafs jeder quadratische Teiler der Formel t -- Nu2
wenigstens eine Zahl Z enthält, welche kleiner als N und prim zu
N oder i-N ist..7............................ 79