Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

46 Vierter Hauptteil.
Substituiert man diesen Wert und dividiert sodann durch 113, so
erhält man:
10u2 + 66ut' + 113t'2 = x2.
Um die linke Seite auf einen einfacheren Ausdruck zu bringen, sei
u-= - 3 t; dann wird:
5t'2 + 6t'u' + I10 u2 = x2.
Da die linke Seite von der Form C ist, so mufs man unter den
Werten von A2, B2,... diejenigen suchen, welche von der Form C
sein können. Nun findet man aber (No. 369), dafs D2 und E2 von
dieser Form sind; mithin besitzt die gegebene Gleichung zwei Auflösungen, je nachdem man x = D oder x = E setzt.
Ist zuerst:
x = 3y2 + 2yz + 14z2,
so findet man mittelst der Formeln der No. 367:
x2 5 Y + 6 YZ + 10Z2,
wobei Y und Z die Werte besitzen:
Y -- y2 + 4yz + 6z2
Z = y2 + 2y- --- 4z2,
so dafs man zu gleicher Zeit erhält:
t'= Y, u' = Z.
Ist zweitens:
x = 6y2 + 2yz + 7z2,
so kann man das aus diesem zweiten Werte sich ergebende Resultat
leicht aus dem vorhergehenden ableiten (indem man 2y für y setzt
und sowohl den Wert von x, wie die von Y und Z durch 2 dividiert).
Man erhält auf diese Weise:
x2= 52 + 6YZ-+ 10Z2
Y=-2y2+ 4y - + 3z2
Z= 2y2 2y 2yz - 2z2,
und es ist wiederum zu setzen:
t'= Y, '- = Z.
Jetzt hat man nur noch die Werte von t' und u in die Werte
von t und u einzusetzen. Dies giebt die beiden folgenden Lösungen
der gegebenen Gleichung:
x 3y2 + 2yz + 14 x= 6y 2+ 2 y + 72
t 19 y2+ 122yz -482 t = 38y2 + 122yz - 24z2
u= 4y2 - lOyz - 22z2 U = 8y2- lyz- 11z2.