Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

44 Vierter Hauptteil.
linke Seite der gegebenen Gleichung ein quadratischer Teiler der
Formel t2 +(- ct2 ist, und dafs diese Gleichung selbst nach Multiplikation mit L oder 4L die Form t2 + Ct a2 = ct, wo c gleich Lb oder
gleich 4Lb ist, annimmt. Daraus folgt, dafs jeder Faktor voln Z
in der Forniel t2+ - au aufgehen mufs und demzufolge durch
einen quadratischen Teiler dieser Formel sich darstellen
läfst. Hieraus und aus der im vorhergehenden Paragraphen
entwickelten Theorie leiten wir die allgemeine Auflösung
der in Rede stehenden Gleichung her; zunächst aber ist es
zweckmäfsig, die rechte Seite von dem konstanten Faktor c zu befreien.
Setzt man in der Gleichung t2 + caut2 = c die Zahlen t und u
zu einander prim voraus, so müssen auch 'b und c prim zu einander
sein. Mann ann alsdann t = nu - cx setzen und erhält, nachdem
man diesen Wert substituiert und sodann durch c dividiert hat:
-- + "2 + 2uttX + ex =2
c
Da nun u und c prim zu einander sind, so mufs n2 4+ a dLurch c teilbar sein, und setzt man n2 + a- = mc, so wird:
mZu2 + 21nx + cx2 =- 27
eine Gleichung, deren rechte Seite von dem konstanten Faktor c befreit ist, und deren linke Seite ebenfalls ein quadratischer Teiler der
Formel t2 + au2 ist, weil man mc - n2 =- a hat.
Man hat daher so viele solcher Gleichungen aufzulösen, als es
Werte voni n giebt, die kleiner als - c und so beschaffen sind, dafs
2 +- a durch c teilbar wird.
Es sei
ffy + 2gy1 + h2 = ff
die (Gleiclrng oder eine lder Gleichungen, welche noch zu lösen sind. Da
die linke Seite ein quadratischer Teiler der Formel t2 +- a62 ist, so mulfs
man zunächst alle quadratischen Teiler dieser Formel, welche durch die
Buchstaben A, B, C, D,... bezeichnet sein mögen, suchen. Alsdann
bestimme man, da zc nach Voraussetzung das Produkt vonl mehreren
unbestimmten Zahlen ist, nach den angegebenen Methoden alle Formen, auf welche sich das Produkt z unmter der Voraussetzung reduciert,
dafs die unbestimmten Zahlen durch die Buchstaben A, B, C, D,...
dargestellt seien, indeml man alle möglichen Kombinationen durchgeht und beachtet, dafs verschiedene Unbestimmten durch denselben
Buchstaben bezeichnet werden können. Hiernach sondere man unter
allen diesen Formen diejenigen ab, welche als Resultat den Buchstaben ergeben, welcher dem quadratischen Teiler der linken Seite