Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Aufsuchung des quadr. Teilers, welcher das Produkt u. s. w. 41
quadratischen Teiler die n^t~ Potenz eines gegebenen quadratischen
Teilers A gehört, so reduciert sich die Rechnung darauf, die Koefficienten gp und 4, so wie es in den beiden Fällen gezeigt worden, zu
bestiiinenl. Sodann bringt man die die angegebene Potenz enthaltende
Formel p2yS - + 2cpyz + 4,z2 oder (falls a von der Form 8n + 3 ist)
die Forniel 2pfy2 + (pyz +,z2 auf den einfachsten Ausdruck.
Nunmehr ist es leicht, in den Produkten der Gröfsen A, B, C,...
(No. 366) die Glieder, welche Potenzen dieser Gröfsen enthalten, zu
bestimmen.
369.
Erstes Beispiel.
Die gegebene Formel sei t + 41u2. Die finf quadratischen
Teiler derselben sind:
A -- y + 2yz + 42zs D = 3y2 + 2z + 14z2
B 2y2 + 2yz + 21z2 Ej 6=y2 + 2 y + 7z2
C= 5y2 + 6yz + 102
Multipliciert man zwei Teiler mit einander, z. B. C und 1D (indem
man die Unbestimmten in einem derselben durch Striche unterscheidet),
so findet man (No. 358), dafs das Produkt CD, nachdem es auf den
einfachsten Ausdruck gebracht ist, gleichzeitig die Form D und die
Form E besitzt. In analoger Weise findet man die andern nachstehenden Resultate; dieselben enthalten die Formen der Produkte
von zwei Teilern gleicher oder ungleicher Art in allen möglichen
Verbindungen. Hinzugefügt sind ferner die Quadrate dieser selben
Teiler, und zwar berechnet mittelst der Formeln in No. 363 oder
mittelst der Formeln in No. 367:
B — A AB —B BC- C l DD E
C= B AC CC BD=E D D D B
D-C AD D B E -D E C
E2=C AE=E - _D
Hieraus leitet man die Form des Produkts beliebig vieler Teiler
ab. Dabei können in demselben Potenzen, welche höher als die
zweite sind, und deren Wert mittelst der Formeln in No. 367 bestimmt wird, vorkommen. Z. B. sind die Produkte dreier gleichen
Teiler: