Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

40 Vierter Hauptteil.
Ich behaupte nun, dafs dieser Teiler allgemein Al enthält, so
dafs man
pn Y2 + qP YZ + IZ2 =- A = ('py2 + q(iz + rZ2)n
setzen kann. Dies ist unmittelbar ersichtlich, wenn nian aus dieser
Gleichung ganzzahlige Werte für Y und Z ableiten kann, welches
auch die Unbestimmten y und z in der gegebenen Formel sein mögen.
Aus der vorstehenden Gleichung erhält man aber:
4Ap" = (2pY+rcpZ + ( 2 + Z2 ( +
Ist für den Augenblick:
2pn Y + SpZ = Z X
2py9 + q = x,
so erhält man die Gleichung:
X2 + aZS =-4(- X2+ 1 a)
und dieser genügt man allgemein, wenn mian
(X+ - a)n + x+ z -
setzt. Man weifs, dafs die aus dieser Gleichung sich ergebenden
Zahlen X und Z stets ganze Zahlen sind. Es bleibt daher nur noch
zu beweisen übrig, dafs auch Y eine ganze Zahl ist. Nun ist:
2pn Y X- X Z,
und
X2 + aZ = 4Apf^n;
substituiert man in der zweiten für a seinen Wert 4pjl -- 2P, so
erhält man:
x2 - cZ2 - 4p(n ( - Z2).
Ferner beweist man wie oben, dafs die 'Faktoren X --- pZ, X-+-pZ
keinen andern gemeinsamen Teiler als 2 haben. Da nu-n X2 2- /2
durch pn teilbar ist, so mufs einer der Faktoren X - p Z, X + -pZ
durch p'n teilbar sein, und da man das Vorzeichen von (g nach Belieben wählen kann, so kann man durch X - (pZ denjenigen der
beiden Faktoren darstellen, welcher durch pf teilbar ist. )erselbe
ist zu gleicher Zeit dutch 2pn teilbar, weil (p ungerade ist. Mithin
ist die Gröfse Y= -- stets eine ganze Zahl oder vielmehr
2pn
eine ganze Funktion der unbestimmten Gröfsen y und z. Es stellt
daher die Formel pn Y2 + (p YZ + - iZ allgemein die ntC Potenz der
gegebenen Formel pyS2 + qyz + rz2 dar.
Bemerkung. Will man einfach wissen, zu welcher Form der