Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

38 Vierter Hauptteil.
Setzt man also:
p- + qp Z= X,
so erhält man:
X2 + aZ2 _ (x2 a+ a2).
Dieser Gleichung genügt man aber allgemein, wenn man
X + Z -~a = ( + S V -a)
nimmt. Daraus folgt:
X == xn -- 2Öl) Xn-2az2 + ( — t) ( -2(-a) -4xa^Z -.
Z -nx'- z n(n -)(n-2) x_-3az3
n( -(n -) ( (n - 3) (n - 4) Xn 5 a 5.
Der Wert von Z ist bereits durch eine ganze Funktion von x und z
oder durch eine von y und z ausgedrückt. Was Y anlangt, so hat man:
y x- cpz
pn
Nun ist aber:
X - _ 2Z2 = X 2 + aZ2 - pn Z2 = pn(n.- n Z2).
Mithin mufs X2 - TpZ2 durch p2 teilbar sein. Aus der Gleichung
pn -_ 2 = a erkennt man aber, dafs ( nicht durch p teilbar sein
kann, weil sonst gegen unsere Voraussetzung auch a durch p teilbar
wäre. Man kann auch nicht annehmen, dafs Z allgemein durch p
teilbar sei; denn sonst würde auch X, sowie auch x2 + az2 durch p
teilbar sein, man würde daher nach Weglassung der Vielfachen von p
az2 - x2 haben, und dieser Wert würde, in den von X eingesetzt,
ergeben:
X=x jfl( J -1)~ + n (n -l (-2) +...). 2n_ xi
(^ + t*1.2 1 1*2 3 4 + * * ) xc
Es imüfste daher p in x und folglich in z aufgehen. Dies kann aber
nicht der Fall sein, da y und S beliebige unbestimmte Zahlen sind.
Da nun also die Gröfse X2 _- gZ2 durch pn teilbar ist, und
ihre beiden Faktoren X + gZ, X - cpZ nicht p als gemeinschaftlichen Teiler haben können, so folgt daraus, dafs der eine von diesen
Faktoren durch pn teilbar ist. Und da das Zeichen von p willkürlich
ist, so kann man annehmen, dafs X- pZ denjenigen der beiden
Faktoren darstellt, welcher sich durch pn teilen läfst. Mithin ist der
Wert von Y als Funktion von y und z ausgedrückt eine ganze Zahl,