Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Aufsuchung des quadr. Teilers, welcher das Produkt u. s. w. 37
dafs, wenn p eine Primzahl ist, die Potenz p" nur zu einem einzigen
quadratischen Teiler gehören kann. Mithin giebt es auch nur einen
einzigen quadratischen Teiler, welcher An enthält.
Nachdem dies festgestellt ist, erhält man, weil pr = c2 + a ist,
und wenn allgemein
(q +- a)n/- - F {+ GJ/ —t
(( -V/- a)" =F- G-/ -ca
gesetzt wird:
(q2 + aC)n =p rn= F2 + aG2.
Ich behaupte nuni, dafs G und p prim zu einander sind; denn wäre
G durch p teilbar, so miifste der letzteren Gleichung zufolge auch
F durch p teilbar sein. Es ist aber:
-- n_ _n ( -- 1) n(n2 - 1) (n- 2) (n- 3), _az
F'== 1~2 q — 2a -+a' 1.234
und wenn man die Vielfachenl von p wegläfst, so erhält man:
a = - und
-- 1 +L n( -1) +i( ( --- - 1) (n 2) ( -- 3), -
Deninach miüfste q und somit auch a durch p teilbar sein, was gegen
die Voraussetzung ist.
Da also G und p primi zu einander sind, so kann man setzen:
F — pG 1+ pnH,
wobei qp und H unbestimmte Zahlen sind. Setzt man nun diesen
Wert in die Gleichung pnrn F2 + aG2 ein, so folgt daraus, dafs
' -C- a durch pf teilbar ist und dafs man somit
SP2 +- a == I)nf
setzen kann.
Nachdetm man auf diese Weise die Gröfsen p und, bestimmt
hat, erhält man den quadratischen Teiler p" Y2 +_ 2cp YZ -- Z2,
welcher zur Formel t2 +- cau gehört, weil p7)1 - q)2 = a ist. Dies
ist derjenige Teiler, welcher allgemein die Potenz A" enthält, weil
die Zahl pn in ihm enthalten ist; wir müssen jedoch noch zusehen,
wie sich Y und Z als Funktionen von y und z bestimmen.
Es sei also:
An = pF Y2 + 2 ) YZ+ -,2
oder:
Am'p2 = (p1 Y + cp Z)2 + a Z.
Ferner ist:
1) == (vPy + q)2 + az2