Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

36 Vierter Hauptteil.
gehören, so suche mIan nach den angegebenen Prinzipien, welches
die Formen der verschiedenen Produkte zu je zweien AA, AB, AC,
B,... sein müssen. Findet man, dafs das Produkt AB zu gleicher
Zeit von der Form C und von der Form D sein kann, so schreibe man:
AB= C
1)D,
und ebenso bei den andern. Nun ist ersichtlich, dafs man, wenn die
Produkte zu je zweien gefunden sind, daraus leicht die Produkte zu
je dreien, zu je vieren u. s. w. ableiten kann. Man findet daher allgemein die verschiedenen Formen des Produkts, welches durch Multiplikation beliebig vieler quadratischer Teiler entsteht.
Bei dieser Bezeichnung empfiehlt es sich, BB vonl B2
zu unterscheiden. Der Ausdruck BB bezeichnet das Produkt
zweier B gleichen quadratischen Teiler, in denen jedoch die Unbestimmten verschieden sind; der Ausdruck B2 bezeichnet das Quadrat
des Teilers B und setzt somit voraus, dafs die beiden Faktoren B
und B sowohl in ihren Koefficienten wie in ihren Unbestimmten übereinstimmen. Dieser Umstand bewirkt eine Beschränkung im Resultat;
denn wie wir eben gesehen haben, besitzt B2 nur eine einzige Form,
während BB deren zwei hat. Ein gleicher Unterschied zeigt sich
bei den Ausdrücken BBB, B2B, B3 und anderen ähnlichen. Wir
müssen daher notwendig untersuchen, welcher Form eine beliebige
Potenz eines gegebenen quadratischen Teilers entspricht. Dies ist
der Gegenstand der nächstfolgenden Aufgabe.
367.
Aufgabe 3. Wenn ein quadratischer Teiler A der Formel
t: + ae2 gegeben ist, so soll man den quadratischen Teiler
derselben Formel finden, durch welchen sich die Potenz A'
ausdr,ücken läfst.
Erster Fall. Der gegebene Teiler sei:
A =py2 -+ 2qyz + rz2,
und es werde, un jede Schwierigkeit zu vermeiden, vorausgesetzt,
dafs dieser Teiler derart vorbereitet sei, dafs der Koefficient 2) eine
Primzahl ist, welche nicht in a aufgeht.
Zunächst kann man beweisen, dafs es nur einen einzigen quadratischen Teiler giebt, in welchem An enthalten sein kann. Denn
welches auch der An enthaltende quadratische Teiler sein möge, er
mufs pn enthalten. Nun haben wir aber bereits gezeigt (No. 234),