Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Aufsuchung des quadr. Teilers, welcher das Produkt u. s. w. 35
vorigen ähnliche Weise zwei Formen des Produkts AA'. Die
erste sich unmittelbar darbietende ist:
AA= Yr +Y + (a + 1)z2,
wobei man hat:
1 1
Y-=pyy + (q - 1)y d (+ ( 1) + + ) rzz'
Z=yz'- y'z.
Um die zweite Form zu erhalten, hat man die kleinsten der
Gleichung
r =-pm - qn
genügenden Werte von m und n zu suchen. Setzt man sodann die
Konstanten
p= q -- 2pn, -- =m - n2,
und die Unbestimmten
y = (y - nZ) (y' - nZ) - 'ZZ
Z = p(y' + y') + qz',
so erhält man:
A A' = _p22 Y2 - YZ + Z2.
366.
Offenbar begreift die soeben gelöste allgemeine Aufgabe als besonderen Fall diejenige unter sich, bei welcher es sich darum handelt,
das Quadrat eines gegebenen quadratischen Teilers zu finden.
Alsdann aber kann das Produkt 'nur eine einzige Form haben;
denn da in diesem Falle y' - y'z = 0 ist, so besitzt der erste Wert
von iAA' nicht die Form eines quadratischen Teilers.
Allgemein, da man das Produkt zweier gegebenen, gleichen
oder ungleichen, Faktoren durch eine Formel derselben Art, welche
ebenfalls ein quadratischer Teiler ist, ausdrücken kann, so folgt
daraus, dafs man stets einen quadratischen Teiler finden
kann, welcher gleich dem Produkte von mehreren gegebenen
quadratischen Teilern ist.
Kommt es einem nur auf die Form der Produkte an, ohne dafs
man sich um die Werte der in ihnen enthaltenen unbestimmten
Gröfsen kümmerte, so wird die Aufgabe bedeutend einfacher, da man
nur mit den Koefficienten zu rechnen hat, und diese nur eine beschränkte Zahl von Verbindungen gestatten.
Bezeichnet man also z. B. mit A, B, C, D,... die verschiedenen
quadratischen Teiler, welche einer gegebenen Formel t2 + au2 zu3*