Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

34 Vierter Hauptteil.
genügen, so sind alle Bedingungen erfüllt. Man erhält dann:
p q +-p, f =n + n2,
und das gesuchte Produkt ist in seiner zweiten Form:
AA' p2 2 + 2 PYZ + tZ2.
364.
Die Gleichung r =pm - 2qn, in welcher m und n die unbestimmten Gröfsen sind, ist immer auflösbar, sobald p und 2q prim
zu einander sind; sie ist es ebenfalls, wenn p und 2q einen gemeinschaftlichen Teiler a haben und r gleichfalls durch a teilbar ist.
Dieser Fall ist jedoch wenig beachtenswert oder vielmehr vollständig
auszuscheiden, da alsdann die Formel py2 + 2qyz + rz2 nur durch 4
teilbare Zahlen darstellen könnte.
Schliefslich könnte auch der Fall eintreten, dafs p und q einen
gemeinsamen Teiler 4 haben, der nicht zugleich ein Teiler von r ist.
Alsdann würde die Gleichung r == pm- 2qn unmöglich sein.
Dies findet in den beiden folgenden Fällen statt:
Erstens wenn a durch e, aber nicht durch e2 teilbar
ist; denn alsdann würde zwar p in t2 + au2 aufgehen, aber p2 könnte
nur dann ein Teiler dieser Formel sein, wenn man annimmt, dafs t
und u nicht prim zu einander sind.
Zweitens wenn p und q einen gemeinsamen Teiler 4
haben und die Zahlen p und a durch 92 teilbar sind; denn
alsdann könnte die Gleichung pr - q2 == a stattfinden, ohne dafs r
durch teilbar wäre. In diesem Falle könnte man durch eine einfache Transformation des Teilers py2 + 2qyz + rz2 der Schwierigkeit
vorbeugen, oder man könnte vielmehr, da dieser Teiler alsdann die
Form p'42y2 + 2q'ayz + rz2 besitzt, während die Formel, in welcher
er aufgeht, t2 + a'2u22 ist, y an die Stelle von ey und u an die
Stelle von ut setzen. Dadurch würde man p'y2 + 2q'yz +- rZ2 als
Teiler von t2 +- a'u erhalten. Dieser letztere Fall bietet aber keine
Schwierigkeiten mehr.
365.
Ist die Zahl a von der Form 8n + 3, und sind somit
A =- py2 + qyz + rz2
A'- py'2 + qy,', + rz'2
die gegebenen quadratischen Teiler, so findet man auf eine der