Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Aufsuchung des quadr. Teilers, welcher das Produkt u. s. w. 33
so erhält man:
an'a2 2 = (x2 + 2) (XI + aa2) = (xx' ( z2')2 + a(xz' + x' )2.
Wenn man von den doppelten Vorzeichen auf der rechten Seite das
obere nimmt und sodann die Werte von x x' und a einsetzt, so wird:
xx' + az' =_p2yy, + pq(yz' + y'z) + przz,
und:
xx' - x' = p(yZ - y'z).
Hieraus folgt, nachdem man durch p2 dividiert hat:
AA' = (pyy' + qyz' + qy'Z + rz')2 + a(yz' - y')2.
Dies ist der erste Wert des Produkts AA'; derselbe ist von der
Form t2 -+- auG2
Um einen zweiten Wert dieses Produktes zu erhalten,
setzen wir:
AA' =_ p2 Y+ 2 q YZ + Z2,
und wie gewöhnlich:?2~ - 2 - a.
Dann ist:
A?2 = (p2 + (p Z) + Z2.
Vergleicht man daher diesen Wert mit dem ersten, so erhält man:
Z= x +- x'z
p2 Y + pZ xx' + azz',
und setzt man in diese letztere Gleichung den Wert von a, sowie
die Werte von x, x' und Z ein, so ergiebt sich:
^Y(=+ + p q ) (J + j 7-9)S
Soll also Y unabhängig von jedem besonderen Werte von z und z'
eine ganze Zahl sein, so müssen — 4 - und -p-9 granze Zahlen sein,
- b 0I ~~~ - *p 1
woraus man erkennt, dafs von den doppelten Vorzeichen nur das
untere zu nehmen ist. Setzt man daher p = q + pn, so wird:
Y= (y - nz) (y - nz') - zz
Z = p(yz + yz) + 2qzz'.
Es ist jedocch och n derart zu bestimmen, dafs p eine ganze Zahl
ist. Nun ist aber:
a + - _ pr-q+ -- (q +pn) - r + 2qn
p" p + p2 p
Sucht man also die kleinsten Werte von m und n, welche der Gleichung
r= pzm - 2qn
Le e g e d r e Zahlentheorie II. 3