Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

452 Anhang.
74.
Ohne auf weitere Einzelheiten einzugehen, sieht man, dafs, wenn
man mit B eine imaginäre Wurzel der Gleichung n -1 = 0 bezeichnet und den Funktionen T und M und den aus ihnen abgeleiteten T', M', T"f, M",... dieselben Bedeutungen beilegt, die wir in allen
unsern Untersuchungen festgehalten haben, zunäichst die Gleichung
T2 == MT' stattfindet, aus der dann mehrere andere analoge Gleichungen wie z. B. T'2=I'T"', "2 = 1" Tv, u. s. w. hervorgehen,
ferner dafs der Wert von MI durch eine Funktion von R allein dargestellt wird, aus welcher wiederum die Werte von MI', ll", u.. sw.
entstehen. Ist allgemein
]11 == (cos a + /- 1 sin f),
1I' == r' (cos +' -+ V/- sin '),
l" =,r" (cos e" + i 1/ sin ")
u. s. w., Werte, die simtlich durch eine und dieselbe Formel bekannt
sind, so erhält man daraus die sämtlichen Werte von;1 T', r",...,
die allgemein durch T() = Q() (cos co i-) + /1 sin co)) bezeichnet
werden. Man erhält daraus im besonderen die Moduln Q aus den
Moduln r mittelst der Gleichungen 2 re', O'2 -= r' Q, Q2" =- Qv
u. s. w., und wenn der Fall eintritt, dafs alle Moduln r, e', ",...
einander gleich sind, so ist auch Q = '=- " - Q" -- = r. Kennt
man endlich alle Werte von T, so erhält man irgend eine Wurzel
x der gegebenen Gleichung miit Hülfe der allgemeinen Formel:
(1) + 2 cos co +- 2 ' cos ' +- 2 " cos o" +-
n
75.
Wir wollen diese Untersuchungen nicht weiter auf die Fälle
ausdehnen, in denen man eine gegebene Gleichung algebraisch aufzulösen im Stande ist. Wir empfehlen, iiber diesen Gegenstand
die ausgezeichnete Abhandlung von Abel in Crelle's Journal
vom Jahre 1829 No. 8 nachzulesen. Der Verfasser giebt darin die
Grundlinien an, nach denen man für jeden Grad verschiedene
Klassen von Gleichungen bilden kann, die algebraisch auflösbar oder (falls der Grad keine Primzahl ist) in Gleichungen von
niederem Grade zerlegbar sind. Daraus folgt, dafs die unter diesen