Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wnrzeln sich rational ans e. von ihnen bestimmen. 451
Wert von x" ausgedrückt als Funktion von x'. Darauf kann man
aber wieder für x' seinen Wert in x setzen, wodurch sich der Ausdruck von x" in eine ganze Funktion von x verwandelt, aus der man
die Potenz von x"' und die höheren Potenzen eliminieren kann, so
dafs die Wurzel x" ebenfalls durch ein Polynom in x vom Grade
n - 1 ausgedrückt wird. Dasselbe gilt von den andern Wurzeln, so
so dafs man also die folgenden n - 1 Gleichungen, welche die
Wurzeln x', x",. x(-) als Funktionen der ersten x bestimmen,
bilden kann:
x' -A + Bx + C2 +- Dx3 + Lxn-1
x" =A' t B'x +- C'X2 + )D'3.. + L'xnx" =A" + B"'x +- C"x2 t- D"x3 -...- L'"xn-1
x(n-)1)A(n-2)+_ B(-2)x + C(n —2)X+ j- )(n-'2)x+... + L(n-2)n 1.
Umgekehrt kann man aus diesen Gleichungen die Werte von x, x2,
x3, xn-1, als lineare Funktionen der Wurzeln x', x,... x(n-1) ausgedrückt, erhalten. Den Wert von x braucht man nicht erst zu
suchen, da derselbe, wie man aus der gegebenen Gleichung weifs,,rleich (1) -x- x - x' -." - x(n- sein mufs. Jedoch ist es
besonders wichtig, den Wert von x2 zu kennen, den wir uns auf die
Form gebracht denken:
2 = ax + bx' +4 cx" + dx"' -+ + -x(-~).
Ein konstantes Glied kommt hierin nicht vor; denn wenn ein Glied
wie c0 darin aufträte, so lknnte man dafür
(1) (X + X ' + X *" + -X(n -1))
setzen. Man sieht nun leicht, dafs sich die Produkte von je zwei
Wurzeln xx, xx" x'x",... und allgemein die Produkte von mehreren Wurzeln und ihrer Potenzen linear durch die einfachen Wurzeln
ausdrücken lassen, wie wir dies soeben für x2 gethan haben. Ferner
ist klar, dafs der bekannte Wert von x2 die Werte der andern
Quadrate x'2, x"2, x"2... giebt, wenn man nach und nach die in
dem Ausdruck des vorerwähnten Quadrates enthaltenen Glieder um
eine Stelle vorrücken läfst. Dasselbe kann man ausführen in dem
Werte von xx', wodurch man die Werte von xx xx x xxv,...
erhält und analog bei den andern Produkten.