Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

IT. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 449
x" = 2,72637 147425017
x IV _ 0, 5899861150 2954,
und in ähnlicher Weise würde man aus dem Wert von xIv den von
x finden mittelst der Formel:
xIV -
x - - - = 0,03907 08254 8829.
i q- xIv
Dies ist derselbe Wert, den wir der Rechnung zu Grunde gelegt
haben. Wenn man jedoch die fünf Wurzeln addiert, so findet man,
dars ihre Summne um 23 Einheiten der vierzehnten Decimale gröfser
als 1 ist. Dieser Uberschufs kann leicht hervorgebracht werden
durch die Fehler der von uns benutzten vierzehnstelligen Tafeln,
Fehler, welche bei den aus fünfzehn geltenden Ziffern bestehenden
Werten von x" und x"' auf die dreizehnte Decimale Einflufs haben.
Es ist aber leicht, den Uberschufs zu beseitigen, wenn man an dem
Werte, den wir x gegeben haben, eine kleine Korrektur anbringt.
Ist dieser verbesserte Wert x + dx, so findet man mit Hülfe des
zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wurzeln bestehenden Gesetzes
leicht die Korrektionen, welche bei den andern Wurzeln vorzunehmen
sind. Diese Korrektionen sind:
dx = +n dx - dx(1,1415),1 --
dx" (1 + x) dx' -dx(7,7105)
dx"' (I f)- dx" = dx (15,0362)
dxIV -. ~ + dx" dx (1,6544).
(+x -)2 - d xx
Daraus folgt:
dx + dx' + dx" + dx"' + dxIv - dx (26,5426).
Uni daher den Fehler + 23 in der Summe der x zu beseitigen,
mufs man
dx (26,5426) - 23
setzen, wodurch sich ergiebt:
dx - - 0,8665, dx' - 0,9891, dx" = - 6,6814
dx"' - 13,0293, dxIv = - 1,4336,
Legendre, Zahlentheorie II. 29