Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

446 Anhang.
T 7''2 T 4
M ' /M' -M2M'
Tr'"n2 1T T"2 T16
=" __-__ _______ _ _ _ _
M"' M4IVM'M"' t JM" MIMM'471. '"
Die letzte Gleichung giebt:
115 _ MM '47'"2M" == r6M9
oder einfacher:
-15 = r2M3 = r5(cos 34 + -I/ sin 34).
3,Ü
Ist daher -5 = Co, so hat man:
T= r (cos w + V- 1 sin ).
Man sieht daher, dafs die Funktionen M und T, sowie die
aus ihnen abgeleiteten Funktionen denselben Modul r haben, was
eine sehr bemerkenswerte Eigenschaft ist. Im besonderen hat man:
T =r (cos Co + -1 sin o)
1" =,, [cos(2Co -,) + /-1 sin(2O- -)]
Y" == r [cos (3o - 2f) + /-i sin(3 o- 2)]
T"'= r [cos (4 o - 3 ) + i/ —1 sin (4 c -3 )].
Aus diesen Werten folgen die beiden Gleichungen:
(17) TT' - T'" = 'r2
welche den für die Funktionen 1 gefundenen
MM"' = r2 ]- M' M"
analog sind.
71.
Es bleibt nur noch übrig, den Wert irgend einer Wurzel x
zu ermitteln. Dazu mufs man die Summe der fünf Gleichungen
bilden:
l - x +- x' + x" + x"' + xIv
T - x - Rx' + R2x" + R3x"' + R4XIV
T' = x + -i2X' + 4X" + 6x- x +- sxIV
T"' x + R3x' + R6x" + R9x' + R2ixIV
"' =x + R4x' + - Sx"' + -R12-x"' + J16xIV.
Aus den bekannten Eigenschaften der Funktion R folgt:
5x = 1 + T+ l' + T" + T'".