Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 443
Man erhält auf diese Weise die folgenden drei Resultate:
O = x - 2x3 - (48 - 20 /5)x2 + (58 - 24 i/5)x
+ 151 - 68 /5 - 8 (5 - 2)x'
0 = x - (50 -20 o/5)-2 - (40 - 16 V1/)x+ 169-76/5
+ 8 (5 - 2)xiV
o0 = - (1/- )x - (43 -175) x+ (731/5- 161)x
71 /5- 158+ 8 (9 - 41/5)x".
Aus diesen Gleichungen haben wir nur noch die Glieder x3 und x4
zu eliminieren; dadurch erhalten wir den Wert von x2 in linearer
Form und zwar ist:
x = 2 - 9 1/5 + (/5-) (x + x) + (25 — 4)- (3 - 5))IV
Sodann miufs man für das konstante Glied 22 - 9 1/5 den Wert
(22 - 9 }/5) (x + x' + x" + x"' + xIV) setzen, wodurch sich ergiebt:
x2= (21 - 8 1/5)(x + x') + (18 - 7 /'5)x" + (22 - 9 1/5)x"'
+ (19 - 8 /5)xv.
Wendet man diese Gleichung der Reihe nach auf die Quadrate x'2,
x"2, x"'2, xIV2 an, und bildet man die Summe von allen, so wird:
Yx (101 - 40 1/5) x =- 101 - 401/5.
In der That ist die Summe der Quadrate der Wurzeln der gegebenen
Gleichung 0 = x - x - 5 ( + — ) x3 - * * gleich:
+ (A+1) = 11 + 10(9 - 4 1/5) = 101 - 40 /.
69.
Da der Wert von x' bekannt ist, so erhält man die Werte der
Koefficienten:
a= 21-8 1/5
b = 21 -8 j/5
c = 18 - 7 5
(7 22 9 1/5
e = 19 - 8 /5,
und diese geben in den Wert von M substituiert:
(15) M = (/5- 1) R-(6- 2 1/5)R - (2 /5- 4)R3 - ( l+/5) R4.