Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 441
x2 ax +bx' cx" +dx"' exIV
x'2 -ax' + bx" +- cx"' + dx: V+ ex
(13) x'2 ax" + bx"' +cxV+- dx + ex'
x2 = ax' + bx'V+ cx + dx' + cx"
xIV2 axIV +bx + cx' + d +" ex,
so ist es leicht, den Koefficienten /I mit Hülfe der Gleichung
T2 -MT'
zu finden; denn es ist M nichts anderes als der Koefficient von x in
dem auf die lineare Form reducierten und von dem konstanten Gliede
befreiten Werte von T2.
Nun kommt aber in dem Ausdrucke von Ts zunächst der Teil
x2 + R2X'2 + 14X"2 + R6X"'2 + 18XIV2
vor. Setzt man in diesen die entwickelten Werte der Quadrate ein,
so erhält man als Koefficient von x die Reihe:
a + eR2 + d -4 + cR6 + bR8.
Sodann giebt der Teil, welcher die doppelten Produkte der Glieder
enthält, in M die folgenden Glieder, wobei wir vorläufig den Koefficienten von x in dem entwickelten Werte des Produkts x(c)x(') mit
(x(t) x(,)) bezeichnet haben:
2R(xx') + 2 12 (xx") + 21R3(xx"') + 2f4 (xx'I)
+ 2 R3 ('x") + 2 R4 (x'x") + 2 R (X'XIV)
+- 2R5(X" ''") + 2 6 (" XIV)
+ 2R7 ("'IV).
Setzt man für jedes Symbol (x(C)x(")) seinen unter (13) angegebenen Wert ein und vereinigt dann diesen zweiten Teil mit dem
bereits gefundenen, so erhält man:
M3 a + eR2 + c114 + cR6 + 6R8
-n(2R + 2R2 + 4R3 + 4R4 + 4R5 + 2R6 +- 2R7)
+ 2R - 24 + - (2R2 - 2n3).
Um diese Gröfse zu vereinfachen, bemerke ich, dafs man, da R
imaginär ist, an Stelle von R eine der Wurzeln R, R12, R3, R4, aber
nicht R5, welches gleich 1 ist, setzen kann. Ferner kann man immer
0 = 1 + - + 12 + R3 + R4 setzen, wodurch sich der Koefficient
von - n auf Null reduciert. Man hat daher einfacher: