Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

440 Anhang.
gleich ist R2 multipliciert mit dem, was aus dem vorstehenden Werte
von T2 wird, wenn man die Buchstaben x, x, x", x"' xiv um eine
Stelle vorrücken läfst und dabei annimmt, dafs der erste auf den
letzten folge. Es ist daher auch:
T2 = R2(ax'+ x"+ yx'" '- xxiV+ E x).
Vergleicht man diesen zweiten Ausdruck mit dein ersten, so ergiebt sich:
ß = a~R, y <R4, 6 = aB, EE =- aR8,
und daher:
T2 = a(x + t 2x'+ R4x"+ R6x"'"+ R8xIV).
Hierdurch wird bewiesen, dcafs die mit 3M bezeichnete Gröfse dasselbe
ist wie a, und dafs sie somit eine Funktion von R allein ist. Es
handelt sich jetzt darum, den Wert dieser Gröfse zu bestimmen;
zuvor müssen wir jedoch zeigen, wie man die Quadrate der Wurzeln
und die Produkte von je zweien derselben unter linearer Form darstellen kann.
67.
Nehmen wir zu diesem Zwecke die beiden Gleichungen, x —n,, x'-n x( -n) - 2n
X = - x =1+ - x' 1 - = n+2x
wieder auf, so erhält man daraus unmittelbar die linearen Werte
der Produkte von zwei Wurzeln, wie folgt:
I/ 11, 1 / l- In (X,
X'x =X -x -n, xx ="7 === (x -x") -n
(12) x"x" x" - x" - n, x"'X 1 (x" - x) -n
Xi ' — X ' == X X - X ( v XX' X n
xiv x== x- - -- x x (X i- x) - -n'.
XXIV _ xIV- X - n, xIVx (x"Vx) -n
Indessen ist es, wie wir schon bemerkt haben, zweckmiäfsig, das Glied
- n in diesen Formeln zu ersetzen durch den ihm gleichen Ausdruck
- n(x + x'+ x"+ x" + xIv).
Nehmen wir an, dafs wir in ähnlicher Weise als linearen Ausdruck von x2 die Formel x2 = ax + bx' + cx" -Jr dx"'+ exIV gefunden hätten, aus welcher sich die fünf Ausdrücke ergeben: