Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 439
Wir haben die Gleichung aufzulösen:
0 -X4- 3 + x2 - - (53 -x2 _ 25x + l),
deren Eigenschaft darin besteht, dafsj wenn ihre fünf Wurzeln mit
x x, x ", XIV bezeichnet werden, zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern dieser in sich zurückkehrenden Reihe die Gleichungen von gemeinschaftlicher Form bestehen:
x - n,, x n x, n IV S"'-n
X --
l)x J1+^; 1 + x
_ xIV,
wobei
n = 5 - 2 /5 = 0,52786 40450 00420 6072
gesetzt ist.
Ist R eine imaginäre Wurzel der Gleichung R5 - 1= 0, für
welche man RI = cos i + 1/- sin a und = 72 nehmen
kann, so setzen wir in Übereinstimmung mit der erwähnten Methode:
T = x + _/x' + R2x" + R3x"'+ b4xIV
(11) T' = x +.R2x' + R4x" + R6 x"'+ R8XIV
Setzt man noch T2 == MT', so beweist man leicht, dafs MC eine
Funktion von R allein und unabhängig von den Wurzeln x, x',...
ist. In der That kann man vermöge des Gesetzes, welches zwischen
zwei Wurzeln besteht, die Quadrate und die Produkte von je zweien
der Wurzeln linear ausdrücken, wovon wir uns sogleich überzeugen
werden. Dasselbe würde gelten von den höheren Potenzen der Wurzeln und von den Produkten von mehr Dimensionen.
Man kann daher annehmen, dafs das Quadrat des Polynoms T
dargestellt werde durch die Formel
12 == ax + ßx'+ yx"+ Sx"'+ -EXV,
dessen Koefficienten sämtlich Funktionen von R sind, und in welcher
kein von den x freies Glied vorkommt. Denn wenn ein konstantes
Glied C in dem Werte von T2 aufträte, so könnte man
C(x + -'+ x + x + xlV)
für dieses Glied setzen, da die Summe der Wurzeln der gegebenen
Gleichung gleich 1, dem Koefficienten des zweiten Gliedes, ist.
Da man nun T die Form
T = R(x'+ Rx"+ R2 X"' +.R3XIV + R4x)
geben kann, so ist ersichtlich, dafs das Quadrat dieses Polynoms