Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 437
Dasselbe Gesetz findet statt zwischen je zwei aufeinanderfolgenden
Gliedern der Reihe der fünf Wurzeln x, x' x, x x, so dafs man
also vermittelst einer bekannten Wurzel die vier andern Wurzeln
rational berechnen kann.
Die drei Zahlen a, b, c, die wir reell voraussetzen, müssen der
Gleichung b - ac -(1 - b)2t2 genügen, wo t eine Wurzel der
Gleichung i2 - - 1 = ist. Man kann daher für g nach Belieben einen der beiden Werte - (1 + 1/5) oder -(1 - 1/5) nehmen.
64.
Man kann auch, ohne die Allgemeinheit der Resultate
zu beschränken, c= setzen, wodurch x'= a+-x wird. Denn
1 — x
ist c beliebig angenommen, und setzt man cx = y, ac = a', so geht
q- bx in b?die Gleichung x'= at + x in y über. Mithin verwandelt
1 - inx y l+ - y
sich die Gleichung in x unmittelbar in eine Gleichung für y, in
welcher c = 1 ist.
Man kann somit annehmen, dafs die allgemeine Gleichung fünften
Grades, welche die erwähnte Eigenschaft besitzt, die Form hat:
(9) 0 x - ax-~ + (f + ga) x3 - (' + g'a)2 + (f"+ g"a)
— (f' + "').
Wie man sieht, gehen hieraus unendlich viele Beispiele für diese
Art von Gleichungen hervor, da, selbst nachdem c = 1 gesetzt ist,
noch zwei Unbestimmte a und b übrigbleiben, denen man beliebige
Werte geben kann. Ist ein Wert von b und einer der beiden Werte
von gt gewählt, so sind unmittelbar alle Koefficienten f; g, f', ',..
bestimmt, da diese nur von b und t abhängen; zugleich hat man
den Wert von a, nämlich
a = b - (1 + b)2t2.
Man hat daher den allgemeinen Typus von unendlich vielen
Gleichungen fünften Grades, welche fünf reelle Wurzeln haben, für
alle Werte der Unbestimmten a und b.
65.
Ist z. B. a-l, b=1, -- S, so erhält man die Gleichung:
0 -= x5 - ((50 - 20 1/5) x + (10 - 4 V5) x2 + 25 (9 - 45)x
-(9 - 4 /5).