Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 435
61.
Es ist also nur noch E aus cden Gleichungen (1) und (2) zu eliminieren. Dies giebt die Gleichung:
(1 + b)55(N + N) -= 1 + 7-5 + (1 - b4) a + (1 b3) p
+- (1 - ) )r + (l + b) 8.
Substituiert man zunächst die Werte von a, / y, 8 ill den Teil:
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(1 - -4) o + (l + 3) - ) - + ( b)<,
so findet man, dafs sich dieser Teil, wenn zur Abkürzung
b + 2 b2 +- 2b +- b4 = B
gesetzt wird, auf den ziemlich einfachen Ausdruck reduciert:
(3U + 2) B( + N+ N2)+ (3t+J 2)2N(1 + b5) + BN(19 + 31v)
(3 -- 2) (1+ - ) -+ (4t + 1) N
Da die noch zu bestimmende Unbekannte N ist, so empfiehlt es sich
1 + N - N== zu setzen; dadurch geht die vorstehende Gröfse über in:
4B(1 + ) + 2t4 (1 + b5) + (31t + 19)B
(3/ i+- 2) - (4 _ + 1)
Diese U I5fse mufs unsrer Gleichung zufolge gleich
(1 $+-7)5"Sg-t (1 + 5)
sein; man erhält daher zur Bestimmung von g die Gleichung:
(3, + 2) t5(1 + b)5 ~2- (3. + 2) ( + b5) 1
(4 + l) (1 + 5) + (4, + 1)(1 + ( b)5A5
- 5/4B + O 10t4 (1 + b5) + 5B(t4 + 31 t + 19).
Setzt man für 5B seinen Wert (1 + b)5 - 1 - b5, so verwandelt
sich die rechte Seite in:
u4(g(1 + b)5 + 10lo4(1 -+ 6b5) +- (g4 _- 31i + 19) (1 + b)5
-, (l +- b5) - (4 + 31L -J+ 19) (1 + b5)
und man findet, dafs die Gleichung die folgende sehr einfache Form
annimmt:
~+~=1,
mithin:
g - + 1/5
Da diese beiden Werte von g kleiner als 2 sind, so würde die Gleichung N2s + 1- = N nur imaginäre Werte von N ergeben, die zu
verwerfen sind. Man mufs jedoch beachten, dafs der Faktor 1 - N
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