Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Uber Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 431
Hieraus ergiebt sich:
4b(2'2+ 1) - 4X(N +- 2)
Ny + 4N 4 1
_ G[N2- ( - 2b + b)N+ b2]
iv 2 + 4N + 1
- 4N2 - 2(1 - b)3N - 4b3
N2 + 4iN + 1
N - N2 4N+- 1
Setzt man diese Werte in die Gleichung
b4 _- b3 b2f -- by + 6 -- m2N
ein, so erhält man zur Bestimmung von N die Gleichung:
N4 - 1 - 0,
welche die beiden reellen Wurzeln N- - und N- - 1 besitzt.
56.
Die Wurzel N 1 giebt:
c =-2(1 -- ), p3 = 2(1 - + 2), =- + b -b2 +?3,
= - (1 + b2)2.
Jedoch ist die aus diesen Werten entstehende Gleichung nicht eigentlich vom vierten Grade, da sie nichts anderes ist als das Quadrat
der Gleichung zweiten Grades:
0 == c2(x + (1 - b) x + (1 + b2).
Es kann daher nur die Wurzel N - 1 eine Lösung geben. Man
erhält daraus die Werte:
a= - 2(1 - b)
y 1 + 3b - 3b2 -— b63
1 - ( -- 6b2 + b4).
Diese Koefficienten sind, wie man sieht, Funktionen von b allein;
nimmt man daher b willkürlich an und bestimmt man a und c durch
die Bedingung ac = - -(1 + b2), so geben die soeben unter der
allein zulässigen Voraussetzung N= - 1 gefundenen Werte von o,
ß, y, 6 allgemein die Gleichung:
0 = c4 4 -- cC3x3 + c2x2 - ycx + S.