Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 429
53.
Ist z. B. die Gleichung
x- + x2 - -x 7 0
gegeben, so hat man:
P — - l, q ----6, -=7,
mithin:
i === 3 und b - -- oder b - 2.
Ist zuerst b - so wird:
(i-b) (p -3) 1
9r-pq - pq 22
3 3
ac=- - -b- b2- -
4' 2
Mithin erhilt man die Wurzel x' aus x mittelst der Gleichung:
2 -- x
Ist zweitens b = - 2, so wird:
c=__l, --- -- 1l a= - 5
und:
- 3 -- 2x
l+x
lÜbrigens kommt diese Lösung auf die vorige zurück; denn aus dieser
erhält man:! - 3 -- -x 3 - 2x
2 + x x
d. h. anstatt. die drei Wurzeln in der Reihenfolge x, x', x" zu betrachten, betrachtet man sie in der umgekehrten Reihenfolge x, x", x'.
54.
Immer, wenn die Gröfse H positiv ist, sind die Werte von a,
b, c reell. Geht man also von der Wurzel x aus, die man stets reell
annehmen kann, so werden die beiden andern x' und x" durch die
Formeln
a + bx a- +bx'
I -- cx 1 -+ cx'
ausgedrückt und sind daher reell. Wir werden daher auf diesem
Wege zu einem durchaus strengen Beweis der Eigenschaft der Gleichungen dritten Grades geführt, dafs nämlich ihre drei Wurzeln im
irreduktiblen Falle reell sind. Zugleich hat man zwei sehr einfache
Formeln, um zwei von diesen Wurzeln mittelst der dritten auszudrücken.