Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

428 Anhang.
einer bekannten Wurzel x die beiden andern Wurzeln x' und x"
3 -2x,, 3 - x
rational mit Hilfe der Formeln x'== x x.- bestimmen.
52.
Da die Gleichung dritten Grades, zu welcher wir gelangt sind,
drei Unbestimmte c, b, c enthält, so scheint es, als ob man jede
gegebene Gleichung desselben Grades, z. B.
0 x3- px2 +- qx - r
auf diese Form bringen könnte. Zu diesem Zwecke müfste man
die Gröfsen a, b, c mittelst der Gleichungen bestimmen:
a -(1 —q
~C C_
-b3 b.a
c3 C3
Da ac - i -b - b2 ist, so erhält man, wenn man zur Abkürzung
(9 r - 2q,2
(2 - 3q) (q2 - 3pr)
setzt, zur Bestimmung von b die Gleichung:
b2 + b ~ + 1 0 O
mithin:
- — 2 + 1/ n (4 -- )
2(n.- 1)
Ist b bekannt, so erhält man c und a aus den Formeln:
(1 -- b) (p2 -- 3q)
C a -- — P
9rpq = ~= — - g - cp.
Damit der Wert von b reell sei, mufs n positiv und kleiner als
4 sein. Diese Bedingungen sind erfüllt, sobald -I'> 0 ist, wo
BH=p2q2 - 4p3r + 18pqr - 4qg - 27r2
gesetzt ist.
Wenn ferner unter Voraussetzung rationaler Werte vonl p, q, r
die Gröfse H ein Quadrat ist, so sieht man, dafs b ebenso wie c und a
rational wird, so dafs die Formel
a -a- bx
1 + cx
den rationalen Ausdruck der zweiten Wurzel x' mittelst der ersten x
und ebenso den der dritten x" mittelst der zweiten x' giebt. Es sind
daher die drei Wurzeln rational, wenn es eine von ihnen ist.