Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 427
In der That reducieren sich die beiden Gleichungen:
m2(3b - a) = M(3 + 2ca + p)
m(3b2 - 2ba + ß) == 1(3 + a),
wenn man darin die Werte MI= - (l + b)3, m' = (1 + b)' substituiert, auf die Gleichung:
0 = 3(1 + b + b2) + a(l - b) + 3,
aus der man erhält:
/ = - 3(1 + b + b2) - (1 -b) = 3ac - (1 - b)-.
Ferner ist y = — 1- a- p - (1 + b)3 oder:
y = - b3 - ba.
Somit wird die gesuchte Gleichung 33 - ac2X2 +- /cx - y = — 0 von
der Form:
0 = c3x3 + 3C2ax- 1 + b3 - a[c2x2 + ( - b) x -- b],
in welcher a unbestimmt bleibt.
Hieraus sieht man, dafs es unendlich viele Gleichungen dritten
Grades von der Beschaffenheit giebt, dafs sich eine Wurzel x' aus
einer andern Wurzel x mittelst der Formel, a. + bx
i -+ cx
ergiebt, wobei die drei Koefficienten a, b, c der Bedingung
1 + b + b2 + ac= 0
genügen.
Werden die drei Wurzeln dieser Gleichung mit x, x', x" bezeichnet, so hat man also:
=, a — bx, a - b x' a - x
-: -cx - -}cx' c- - b
51.
Ist z. B. a = 3, b =- 2, c=- 1, so ist die gesuchte Gleichung allgemein:
0 = x- - 9x + 9 +,(x' - 3x + 2).
Hieraus ergeben sich unendlich viele specielle Gleichungen z. B.
0= 3 - 9x +9
0 = X3- 3x2 + 3
0 x3 + 32 - 18x + 15
u. S. w.
Sie besitzen alle dieselbe Eigenschaft, nach welcher sich aus