Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

30 Vierter Hauptteil.
pp teilbar ist. Mithin giebt es nur höchstens zwei verschiedene
quadratische Teiler, welche das Produkt AA' enthalten. Ich sage
höchstens, weil in einigen besonderen Fälleii die beiden quadratischen
Teiler, wenn sie auf den einfachsten Ausdruck gebracht werden, in
einen einzigen, der dann AA' in zwei verschiedenen Verbindungenl
enthalten wirde, zusammenfallen können. Dies mufs, wie wir dies
an einem Beispiel sehen werden, der Fall sein, wenn die Formel
t2 +- auc2 nur einen einzigen quadratischen Teiler enthält, welcher lden
linearen, pp' enthaltenden Formen entspricht.
360.
Zweiter Fall. Ist die Zahl a von der Form 8n + 3, und somit
der als ungerade vorausgesetzte quadratische Teiler A von der Form
py2 + qyz + rz2, in welcher die Koefficienten, p, q, r ungerade Zahlen
sind und 4pr - q2 = a ist, so kann man die vorhergehende Entwicklung ebenfalls benutzen, uni das Produkt A A' zu erhalten.
Denn da
2A = 2py2 + 2qyz + 2rz2, 2A' = 2p',2 + 2q'y'z' + 2rz2
ist, so hat man in den gefundenen Formeln nur 2p un(d 2r an die
Stelle von p und r zu setzen. Man erhält daher zur Bestimmung
von n und n' die Gleichung:
pn - p' n = (q'+ q), (b)
aus welcher man die Werte von (p und 4p herleitet, niämlich:
p -2 -t a
p=2pn-q, -p - p -.a
Setzt man sodann:
Y = (y + 7) (q -n z) + zzt
Z= (2py + qz)' z t- (2p'y' + q'z')z,
so erhält man:
4AA' == 4pp' y2 + 2 p YZ + p Z2.
Nun sieht man aber, dafs Z stets gerade ist, und dafs manl somit
2Z an die Stelle von Z setzen kann. Ist also wiederum:
Y= (y -j nz) (y - n 'z) + zz'
Z = pyz P'Z + (q Y q')zz',
so wird das gesuchte Produkt:
A A' 12 ~ pp '- + p YZ-+ tZ2.