Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Über Gleichungen, deren Wurzeln sich rational aus e. von ihnen bestimmen. 425
Für n == 3 hat man nur den einen Wert i =1, weil i nicht
gröfser sein darf als - Daraus ergiebt sich cos -- 2' und die
Bedingung geht über in:
0 = 1 + b + b2 + ac.
Für n = 4 ist i ebenfalls gleich 1 zu setzen, also cos2 4 2,
und die Bedingung wird:
0 = 1 +62 +2ac.
Für n = 5 kann man i =1 und i 2 setzen, so dafs man
einer der beiden folgenden Gleichungen genügen mufs:
b-ac (1 + b)2 (1 5)
b -ac=( +b)2(15)
48.
Weitere Entwicklung für den Fall der Gleichungen dritten Grades.
Die Bedingungsgleichung ist:
1 + b + b' + ac = 0
oder:
b - ac = (1 +- b)2 =.
Wird die Gleichung x' + auf die Form
+cx
(cx'- b) (x + l) = ac - b -
gebracht, und setzt man cx'- b y, cx + 1 = oder:
+ b z - 1
so wird yz = - m. Ist
x3 - A2 + Bx- C==
die Gleichung in x, so mufs dieselbe befriedigt werden, wenn man
y+-t b s z —1
für x die Werte x = +, x - substituiert, so dafs man,
wenn man zur Abkürzung cA =c a, c2B= 1, cC =3 y setzt, durch
Substitution der beiden Werte von cx in die gegebene Gleichung,
welche alsdann in
c3x3 - acx2 + cx - y 0
übergegangen ist, die beiden Gleichungen erhält:
0 z- (3 + a) z2 + (3 + + 2a ß)z-(l + + +r)
0 -y3 + (3b - ~)y2 + (3b2 - 2ba -P) y + b3 - b2 + b -.