Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

424 Anhang.
46.
1) Ist n-= 3, so giebt diese Gleichung:
3(1 + b)2 + R2 = 0
mithin:
1 +b + 2 - ac = 0.
2) Ist n = 4, so giebt die allgemeine Gleichung:
(1 + b)2 + E2 o
oder:
1 + b2 + 2ac 0.
3) Ist n == 5, so erhält ian:
5(1 + b)4 + 10(1 + b)2B2 + R4 0,
und diese Gleichung reduciert sich auf die Form:
0 -- a2c2 + ac(3 + 4b + 3b2) + 1 + b + b2 ++ 3 + b4 = 0
oder:
0 = (2ac + 3 + 4b + 3b2)2 - 5(1 + b)4.
Aus diesen drei Fällen ersieht man, dafs 12 negativ ist, und dies
ist allgemein der Fall für jeden Wert von n. Denn wenn 12 reell
wäre - von b sowie von a und c wird dies vorausgesetzt -, so
würden offenbar, da die reellen Gröfsen 1 + b + R und 1 + -- R
ungleich sind, auch ihre "ten Potenzen ungleich sein.
47.
Da 1R2 negativ ist, kann man setzen:
2-, + 2 /(- 1 b) 4ac Q(cos - + l 1 sin ).
Dies giebt:
2 = b a- c
1 +b
cos 1+
Hiernach erfordert die in Rede stehende Bedingung, dafs die Gleichung bestehe:
Q(cos n a + /- 1 sin n1ß) = gn(cos n - - 1 sin no).
Mithin reduciert sich diese Bedingung auf die Gleichung:
sin n = 0, oder - = -,
worin i irgendeine ganze Zahl ist. Diese Bedingung läfst sich auf
die Form bringen:
(b - ac) cos 1- = - (1 + b)2.