Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Uber Gleichungen, deren Wurzeln sich aus e. von ihnen rational bestimmen. 423
Mithin ist - oder:
q
X() - r'dA(b + c) ~ AÄ'(b + c')k '
A'(b- c)k- A( + ct
Ist jetzt der Index k gleich Null, so wird:
'A -- iA' A' x -+ '
x - A A x -A —
und schliefslich:
x(k) _ t(x+) (b + c )7' - t(.X 4- ') (b + c )k
(x + qt) (b + - + ck (x + ) ( + c')k
45.
Wir müssen jetzt die Bedingung x(")- x ausdriicken, vermöge
deren die gegebene Gleichung L ten Grades n Wurzeln x, x, x,... x("
besitzt, welche eine in sich zurückkehrende Reihe bilden, und zwar
ergiebt sich jedes Glied x(k der letzteren aus dem vorhergehenden
Gliede x(k-') mittelst der Formel:
an+ b x(k -1)
x(k)
1 + cx(-1)
Die in Rede stehende Bedingung reduciert sich allgemein auf die
Gleichung:
(b + y)n = (b + C)n
Der Gleichung cq2 + (b-1l) - a zufolge hat man aber die beiden
Wurzeln:
1- b <-~ 1/(1 — b)2 + 4ac
C6.L b-2 + 2-1/(1 b) + 4Ca;
mithin:
b + c- -14 --- - -- b)2 + 4ac.
Setzt man zur Abkürzung:
= /(1 - b)2 + 4 ac,
so mufs allgemein die Gleichung bestehen:
(1 + -b +- -)n - (i.- b -- )".