Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

II. Uber Gleichungen, deren Wurzeln sich aus e. von ihnen rational bestimmen. 421
Ilr y i c - () rp(')
7 ' = +' -,(") q( k,) (" - 1'),
und es ist k'" ein der Wurzel r sehr nahe liegender Wert. Sodann
setze man die Berechnung der folgenden Glieder kIV, 7V,.. nach
den gewöhnlichen Formeln weiter fort; die Grenze dieser Reihe ist
alsdann die gesuchte Wurzel.
Im allgemeinen treten die Ausnahmlen, von denenl soeben die
Rede gewesen ist, nur in Fällen auf, in denen sich die Auflösung
von selbst vereinfacht, da man, wenn man weifs, dafs die gesuchte
Wurzel zwischen k' und 1 liegen mufs, diese Grenzen leicht beliebig verengern kann.
Zweiter Abschnitt.
Über einige Gleichungen, welche die Eigenschaft besitzen, dafs sich
aus einer bekannten Wurzel alle andern rational bestimmen lassen.
42.
Wir nAhmen an, dafs, wenn die Wurzel x bekannt ist, eine
andere Wurzel x' durch die sehr einfache Formel, a+ bx
l+-t cx c
in welcher a, b, c bekannte Koefficienten sind, bestimmt werde, und
dafs diese Eigenschaft allgemein für alle Wurzeln gelten solle. Man
mufs daher, wenrn man a+b- für x in die aufzulösende Gleichung
1 cx
substituiert, wieder auf dieselbe Gleichung zurückkommen. Nun
kann man aber dem Gesetze zufolge, nach welchem sich die Wurzel
' aus der Wurzel x ergiebt, auch eine dritte Wurzel x" aus x,
eine vierte x"' aus x" u. s. w. ableiten, und zwar geschieht dies der
Reihe nach durch die Gleichungen:, a4-+bx,, a + bx', a -bx"
x 1+c-x cx' x 1 +c 7
Mithin mufs, wenn die gegebene Gleichung von sten Grade ist, die
ite der Wurzeln x', x", welche durch x(") bezeichnet sein möge
gleich der ursprünglichen Wurzel x sein.
Wir wollen untersuchen, wie diese allgemeine Bedingung analytisch ausgedrückt werden kann.