Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

418 Anhang.
des Systems zwei Glieder wegläfst und die Koefficienten der andern
Glieder nach einem unveränderlichen Gesetze abändert. Dies Verfahren ergiebt unmittelbar das Resultat, welches man erhalten würde,
wenn man die gegebene Gleichung durch das Produkt der den beiden gefundenen Wurzeln entsprechenden Faktoren dividiert und sodann den Quotienten auf die Form bringt, welche für unsere Methode
erforderlich ist.
Wenn die Operationen, welche erforderlich sind zur Bestimmung
der reellen Wurzeln, zu Ende geführt sind, und es bleibt nur noch
eine Gleichung von geradem Grade, deren Wurzeln sämtlich imaginär
sind, aufzulösen, so ist man von vornherein sicher, dafs die Auflösung möglich ist. Wenn also auch die Untersuchung, die sie veranlafst, wegen der kaum zu vermeidenden Versuche ziemlich weitläufig wird, so ist sie doch wenigstens niemals fruchtlos. Übrigens
werden die Operationen, je weiter sie fortschreiten, von Schritt zu
Schritt einfacher, weil sich die Anzahl der Glieder, die nach einander gleich - 2, n - 4, n - 6,... ist, ebenso wie der Grad
der Gleichung verringert, und sobald man zu einer transformierten
Gleichung vom vierten Grade gelangt ist, kann die Lösung sogar
ohne jegliches Probieren durchgeführt werden.
39.
Die soeben auseinandergesetzte Methode ist noch sehr
unvollkommen; indessen hat sie einige besondere Vorzüge,
welche sie der Einfachheit und Eleganz der Formeln verdankt. Der
beachtenswerteste dieser Vorzüge besteht darin, dafs, wenn
man für p und q verschiedene Werte setzt, um zu ermitteln, welche
etwa den Gleichungen genügen, diese Substitution in jedem Nenner
a2 + 2ap? -) q ohne jede komplicierte Rechnung ausgeführt werden kann.
Dies ist nicht der Fall, wenn man x = r (cos a -+- i/-1 sin U)
gesetzt und für r oder für D, in die Gleichungen, von denen diese
Unbekannten abhängen (Art. 119), einen neuen Wert zu substituieren
hat. Diese Substitutionen erfordern komplicierte Rechnungen, besonders um die Cosinus und Sinus der Vielfachen von a zu finden.
Dieser erste Vorzug ist daher schon sehr grofs.
Ein zweiter aber ist nicht weniger bemerkenswert. Er
besteht darin, dafs die beiden aufzulösenden Gleichungen gleichzeitig
auf eine sehr einfache Weise gebildet werden können. Giebt man
nämlich p und q besondere Werte und findet man jedes Glied