Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 417
37.
Nennen wir wieder f und g die verbesserten Werte von p und
q, so ergeben sich daraus die beiden imaginären Wurzeln:
x=f+ f-/2 g
Um sodann die andern Wurzeln derselben Gleichung zu erhalten,
müssen wir die Gleichung bilden, deren Wurzeln sie sind.
Sind x = r', x - r" die beiden Wurzeln, die wir soeben bestimmt
haben, so müssen wir in der gegebenen Gleichung 1 +-Z - 0
a+x
den Koefficienten A durch einen neuen Koefficienten
(n - a)(n- 1- a)
A.2
2 (a + r')(a + r")
ersetzen. Dies ergiebt sich in der That aus den Formeln des Artikels 26. Da nun (a + r') (a + r") =- a + 2 af + g ist, so wird
der Wert von A,:
(n -a) ("n -- a) A
2 a2 + 2af+g
Hiernach ist die neue aufzulösende Gleichung n-2ten Grades:
A2 - o
a+x 0,
a 4 - x
und diese zerfällt durch die Substitution x = p + j/p2 -q in zwei
andere, nämlich:
A a
I~ Z a_~apg ~0 u
A2 AO.
a'2+ 2ap +q
Diese Gleichungen sind denen im Artikel 35 vollständig analog; sie
enthalten jedoch beide zwei Glieder weniger, da die Werte von A2,
welche den Werten a-= und a == - 1 entsprechen, verschwinden.
Mithin ist der letzte Wert von a gleich n - 2, und in der That ist
die Gleichung, die noch aufzulösen ist, vom Grade n - 2.
38.
Mit Hülfe dieses Verfahrens bildet man sehr leicht die verschiedenen Gleichungen, die noch aufzulösen bleiben, nachdem man stets
je zwei der imaginären Wurzeln der gegebenen Gleichung gefunden
hat. Die Art und Weise, wie man von einem System zum folgenden
gelangt, besteht darin, dafs man in jeder der beiden Gleichungen
Legendre, Zahlentheorie II. 27.