Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

~ 4. Aufsuchung des quadr. Teilers, welcher das Produkt u. s. w. 29
p'y' + q'z, so erhält man, nachdem man durch pp' dividiert hat:
y-= (yM f+ - )(yp ) (M P +)
Dieser Ausdruck mufs eine ganze Zahl sein unabhängig von den
Werten von S und z'; demnach müssen q- und q,- ganze Zahlen? p p,
sein. Ist daher:
d = =pn q -- t + q, (a)
so kann man stets, weil p und p' prim zu einander sind, n und n'
mittelst der Gleichung
pn - q =p'n' -- q'
bestimmen. Man erhält auf diese Weise den Wert von qp, und dieser
ergiebt eine ganze Zahl für
CP2 + a
Denn da man (p =-pn t q und q2 +- a =pr hat, so ist (p2 + a teilbar durch p, und da ebenso =p'n' + q' und q2 + -a -=r' ist,
so ist auch 92 + a teilbar durch p'. Es mufs demnach, weil p und
p' prim zu einander sind, p2 + a durch p'p teilbar sein.
Sind die Zahlen n n', p,, auf die eben angegebene Weise
bestimmt, und setzt man:
Y= (y + nz) (y' - n'Z) + Pzz'
Z= x' -+ x' = (py + q z)' - (p'y' + q''),
so erhält man das gesuchte Produkt:
AA' - p' Y2 + 2(p YZ + Z2.
Es ist daher dieses Produkt in einem neuen quadratischen Teiler derselben Formel t2 + au2 enthalten.
359.
Es ist zu bemerken, dafs die betrachtete Aufgabe wegen
des doppelten Vorzeichens + in der Gleichung (a) im Allgemeinen zwei Lösungen besitzt. Sie kann aber deren nicht
mehr wie zwei haben. Man kann nämlich die Zahlen p und p' als
relative Primzahlen voraussetzen; wie beschaffen ferner der quadratische Teiler, welcher AA' enthält, auch sein möge, er ist stets von
der Form pp'y2 + 2gyz + - z2, wobei (p2 + a =pp'p ist. Da aber die
Zahlen p und p' prim zu einander sind, so giebt es nur zwei Werte
von 9p, welche kleiner als {-pp sind, und für welche (p2 + a durch