Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 415
raden Wert a =1, 3, 5,... n - 1 und negativ für jeden geraden
Wert a == 2, 4, 6,. n.
Diese Gleichungen sind von ziemlich einfacher Form; da sie
jedoch zwei Unbekannte p und q enthalten, so scheint es nicht, als
ob man dieselben mittelst einer Methode auflösen könnte, die derjenigen analog wäre, welche wir für den Fall reeller Wurzeln, wo
nur eine Unbekannte vorkommt, gegeben haben.
Wenn man daher die Weitläufigkeiten der Elimination, durch
welche man die beiden Unbekannten auf eine einzige zurückführen
könnte, vermeiden will, so mufs man sich darauf beschränken, diese
Gleichungen durch eine Art von heuristischem Verfahren aufzulösen,
wobei nichts weiter vorausgesetzt wird, als dafs q oder r2 zwischen
gegebenen Grenzen liegt, und dafs stets p < 1/q ist.
Es könnte vorkommen, dafs man für die vorstehenden, das
System (,) darstellenden Gleichungen keine Lösung fände. Alsdann
würden aber die beiden analogen Gleichungen, welche das andere
System darstellen unter der Voraussetzung, dafs die imaginären
Wurzeln, d. h. ihre reellen Teile, negativ sind, sämtliche n imaginären Wurzeln der gegebenen Gleichung enthalten, so dafs die Auflösung, falls sie in dem einen Falle nicht gelingen sollte, notwendig
in dem andern gelingen müifste.
Man braucht sogar die Form der vorstehenden Gleichungen nicht
zu ändern, sondern man kann sich damit begnügen, das Vorzeichen
von p zu ändern, wodurch man auf das zweite System zurückkommen
würde. Denn die letzte Form (a'), auf welche wir die aufzulösenden
Gleichungen gebracht haben, indem wir an Stelle von r und a die
Unbekannten p und q einführten, hat den in Artikel 34 bemerkten
Jbelstand nicht mehr, vielmehr sind die vier Funktionen:
Aa _ A
a2- 2 ap ' - 2 ap + q
Bb B
b2-2bp-+q b- 2bp+ q '
sowohl in Bezug auf p wie in Bezug auf q betrachtet, stets gleichförmig verlaufende Funktionen, da p immer zwischen den Grenzen
p = 0 und p- = ]/q liegen soll.
36.
Wir nehmen an, dafs man nach einigen Versuchen Werte von
p und q gefunden habe, welche den Gleichungen (a') näherungsweise
genügen. Diese Werte seien p f, q=- g; dieselben mögen ergeben: