Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

414 Anhang.
34.
Man kann annehmen, dafs die vorstehenden Gleichungen
unter Voraussetzung eines positiven r cos ~ gebildet seien.
Ahnliche Gleichungen könnte man unter Voraussetzung eines negativen r cos 4 bilden. Dazu müfste man das Vorzeichen von x in der
gegebenen Gleichung ändern und nach dieser Änderung ebenso verfahren, um sie auf die Form 1 + -- = zu bringen.
a -t+x b-+x
Setzt man darauf x = r (cos + ]/- 1 sin 9), so würde man zwei
Gleichungen erhalten, die den Gleichungen (a) ähnlich sind, deren
Koefficienten aber andere sein würden,
Diese Unterscheidung erscheint notwendig, weil die Funktion
A
E-a2+ 2acos j- r keine gleichförmig verlaufende Funktion von r
a" + 2ar cos ü + r2
mehr sein würde, wenn man die Gleichungen (a) fir negative cos a
in derselben Form liefse. Denn differentiirte man diese Funktion
nach r, so wurde der Differentialquotient sein:
2A(r + a cos i)
(a- + 2 ar cos a + r'")2 1
und dieser würde von r 0 bis r — oo nicht dasselbe Vorzeichen
behalten, was der Natur einer gleichförmig verlaufenden Funktion
widerspricht.
Zur vollständigen Lösung der gegebenen Gleichung mufs man
daher zwei Systeme von Gleichungen von der Art wie das System
(a) betrachten, in deren jedem cos a positiv vorausgesetzt wird.
35.
Ist jetzt r cos a =p, r == q, so sind die beiden aufzulösenden
Gleichungen:
Aa Bb
a1 - Y +2ap+__q - + 2bp+q
A B
a2 +- 2 cp - b - 2 bp- + q~
Man kann dieselben auch einfacher darstellen durch:
1 + 2 Aa _ = - 0
wn f(c< ez )E s s sa'+ p+q = + q
wenn man festsetzt, dafs A stets positiv sein soll für jeden unge