Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 413
Wert x ==,. so ist die linke Seite F(x) stets eine positive Gröfse.
Daraus folgt, dafs, wenn man wie im Artikel 13 verfährt und die
gegebene Gleichung durch das Produkt der Faktoren 1 + x, 2 + x,
3 + x,... n + x dividiert, um sie auf die Form 1 + (p(x) = 4 (x)
oder 1 + - Z -- B b zu bringen, die verschiedenen Werte
a +- x b -+ -x
von a die ungeraden Zahlen 1, 3, 5,... n - 1 sind, während die
Werte der b die geraden Zahlen 2, 4, 6,... n sind.
Mithin sind im Falle der imaginären Wurzeln die Funktionen
qp(x) und tp(x) beständig von der folgenden Form:
(x) +) W (3) + (5).... (
^W -^j^cr+x -l+x
+(X) (2) (4) + (6) l + (n)
( +- +x 4+ 1 G + x - + ' x
Sie besitzen daher dieselbe Anzahl von Gliedern.
33.
Setzt man hierauf x = r (cos a + -/-1 sin 9), so wird:
A _A_ A(a+r cos - -lrsind)
a+x + a+ r (cos+~ — i sin@) a2 + 2 ar cos - +r '
mithin:
a + r(acos 1/-1 si) A
a+x a+ -2ar cos 9+r2 ' c s l a2 +arcos +r
A B
Hieraus ersieht man, dafs die Gleichung 1 + - - = + in
a+ x b - x
zwei andere zerfällt, nämlich:
Aa; b
a + a2+ar cos +r2 r b - 2 br cos + r
a + 22ar cos -'+2 E b2 + 2br cos -- r2
Auf der linken Seite hat a alle ungeraden Werte 1, 3, 5,... n- 1,
auf der rechten b alle geraden Werte 2, 4, 6,... n.
Dies sind also die Gleichungen, welche man aufzulösen hat, um
die zu jedem Paare von imaginären Wurzeln gehörigen Werte von
r und a zu finden.
Die Zahl r ist stets positiv. Was die Zahl r cos a betrifft, so
kann dieselbe positiv oder negativ sein. In Bezug hierauf kann man
also zwei Arten von imaginären Wurzeln unterscheiden, nämlich die positiven, wenn der reelle Teil r cos positiv ist, und
die negativen, wenn dieser Teil negativ ist.