Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

412 Anhang.
r < i/A + /A,.
Dies ist also in diesem Falle die obere Grenze der Gröfse r, welche
bei den imaginären Wurzeln als Modul auftritt.
31.
Um die untere Grenze eben dieser Gröfse zu erhalten, bemerke
ich, dafs, weil die gegebene Gleichung nach Voraussetzung nur
imaginäre Wurzeln hat, ihr letztes Glied An das Produkt aus allen
Gröfsen r2, r2, r"2.., welche sich aus den verschiedenen Paaren
imaginärer Wurzeln ergeben, darstellen mufs. Ist also r die gröfste
der Gröfsen r, r', r",... und r(i) oder Q die kleinste, so hat mani:
r > /A7 und Q < i/A,.
Der gröfste der Moduln r mufs daher zwischen den folgenden Grenzen
enthalten sein:
n i -- +-
r > /An, r < -jAI + -Ak
Was die Grenzen des kleinsten Moduls anlalngt, so haben wir nur
die obere Grenze < i/An. Jedoch können wir auch leicht die
untere Grenze finden.
Zu dem Zwecke hat man in der gegebenen Gleichung x = - zu
setzen, wodurch sich eine Gleichung von der Form ergiebt:
Z + B1 - + B2-2 + *. * ~ Bn = 0.
Nun sind zwei Fälle zu betrachten:
1) Ist der Koefficient B1 des zweiten Gliedes mindestens ebenso
grofs, als irgend ein anderer Koefficient, so hat man, wenn B, positiv
genommen wird: z < 1 + B1.
2) Sind Bi und Bk die beiden Koefficienten, für welche i/Bi und
/BB am gröfsten sind, so hat man, wenn diese beiden Wurzelgröfsen
a und b genannt werden, s < a + b.
1 1
Im ersten Falle ist daher Q > 1 B im zweiten Q > - -
32.
Form der Gleichungen, welche im Falle der imaginären Wurzeln
aufzulösen sind.
Ist F(x)= 0 die gegebene Gleichung nüt"l Grades, deren sämtliche Wurzeln imaginär sind, und substituiert man für x irgend einen