Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

I. Näherungsweise Auflösung der numerischen Gleichungen. 411
durch a + ß 1/ 1 oder r (cos * + 1- l sin *) ausgedrückten Wurzel
geben könnte. In der Erwartung, dafs diese Methode bald die Verbesserungen, dereil sie fähig ist, erfahren möge, wollen wir hier die
Formeln geben, welche, bei Anwendung der vorstehend entwickelten
Methode, dem Falle der imaginären Wurzeln entsprechen. Und da
eine imaginäre Wurzel durch r (cos * + /- 1 sin ü) dargestellt wird,
so suchen wir zuerst die Grenzen für die Gröfse r, welche im gewissen Sinne das Mafs ihrer Gröfse oder der Modul dieser Wurzel
ist, weil der Wert einer beliebigen Potenz m von x niemals gröfser
als r'11, wohl aber beliebig wenig davon verschieden sein kann.
30.
Grenzen der reellen Gröise, welche bei den imaginären Wurzeln
als Modul auftritt.
Wird die gegebene Gleichung, deren Wurzeln sämtlich imaginär
sind, durch
xn + A 1n-1 + A2xn-2 + AÄ31n-3 +... + An = 0
bezeichnet, und setzt man x = r (cos ' + /-i sin ), so zerfällt
diese Gleichung in zwei andere, nämlich:
r cosn — +A r - cos(n- 1)+A r"-c2 os(a- 2) - -...rkAn = O
r sin n +A r-1 sin(n- 1)'+A2 r -2sin(n- 2) +-..An- r sin==0.
Multipliciert man die erste mit cos n@, die zweite mit sin ne und
addiert die Produkte, so erhält mlan:
r 4 AlrB - cos - + ~Ar-2 cos 2~ - - - An cos n = --- 0.
Offenbar wird nun aber rn unter der Annahme am gröfsten werden,
dafs man
rn= A 1 Ar-1 + 2rn-2 + Ar,-3 + * *. + An
hätte, wobei die Koefficienten A1, A, A... auf der rechten Seite
sämtlich positiv genommen sind. Wendet man hierauf das an, was
wir im Artikel 1 für den Fall reeller Wurzeln gefunden haben, so
kann man schliefsen:
1) Wenn der Koefficient des zweiten Gliedes A1 an Gröfse von
keinem der andern Koefficienten A2, A..3,. An übertroffen wird, so
hat man:
r < 1 + A,.
2) Wenn Ai und Ak die beiden Koefficienten sind, für welche
/ Ai und 'Ak. die gröfsten Werte haben, so ist: