Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

410 Anhang.
Man erhält also auf diese Weise mit Hülfe von Gleichungen, die
immer einfacher werden, nach und nach die verschiedenen positiven
Wurzeln r, r', r ",... der gegebenen Gleichung. Diese Rechnung
ist beendigt, sobald man zu einer transformierten Gleichung gelangt,
die nicht lösbar ist, was man aus den von uns bei der allgemeinen
Auflösung angegebenen Bedingungen erkennt.
28.
Dieselbe Methode ergiebt die negativen Wurzeln, wenn man in
der gegebenen Gleichung das Zeichen von x ändert und dieselbe dann
auf die Form 1 -+ ((x) — (x) bringt. Indessen ist es einfacher,
die letzte der transformierten Gleichungen 1 + - i((x)= - (x),
1 + S2 (x) -= e(x),... zu nehmen, welche keine positiven Wurzeln
mehr hat, aber negative haben kann. Um diese letzteren zu erhalten,
reduciert man diese transformierte Gleichung auf die gewöhnliche,
von Brüchen befreite Form und wendet sodann, nachdem man das
Zeichen von x geändert hat, auf sie die Methode des Artikel 13 an,
um sie von neuem auf die Form 1 + p (x) =- (x) zu bringen. Für
diese mufs man dann die positiven Wurzeln suchen.
29.
Es bleibt also nur noch zu zeigen übrig, wie man eine
Gleichung, die lauter imaginäre Wurzeln hat, auflösen könne.
Indessen ist diese Aufgabe bedeutend schwieriger wie die, die reellen
Wurzeln zu finden, und wir verhehlen es nicht, dafs die vorhergehenden Methoden nur wenig Vorteil bei der Lösung derselben gewähren. Allerdings könnte man die imaginären Wurzeln einer Gleichung ntenl Grades mit Hülfe der reellen Wurzeln einer Gleichung
vom Grade (n-1) finden. Wenn aber n auch nur wenig gröfser ist
2
als 4, macht die bedeutende Komplikation einer solchen transformierten Gleichung und der Rechnungen, welche erforderlich sind, um
zu ihr zu gelangen, die Anwendung dieses Hiilfsmittels vollständig
illusorisch. Man mufs daher in der gegebenen Gleichung selbst und
nicht in einer transformierten Gleichung von höherem Grade die
Hülfsmittel suchen, welche zu den numerischen Werten der imaginären Wurzeln führen. Wir haben schon im Artikel 119 dieses
Werkes eine Methode angegeben, welche den Vorteil hat, ziemlich
schnell zum Ziele zu führen, wenn man dein Rechner einige Andeutungen über die Wahl des ersten anzunehmenden Wertes der