Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

408 Anhang.
26.
Sind die gröfste und die kleinste positive Wurzel bekannt,
so sollen alle andern bestimmt werden.
Man könnte nach und nach alle Wurzeln miit Hülfe der Durchschuittspunkte der beiden gezogenen Kurven ermitteln, ohne die Form
der gegebenen Gleichung, durch welche diese Kurven bestimmt werden, zu äindern. Indessen ist es viel einfacher, wenn man, nachdem
die Wurzel x = r gefunden ist, den Faktor x - r aus der gegebenen
Gleichung fortschafft, um dadurch die Gleichung vom nächstniedrigeren
Grade zu bekommen, welche die andern Wurzeln enthält, und fir
welche r die Grenze der an Gröfse näichsten Wurzel r bildet. Das
hierzu am besten anzuwendende Verfahren besteht in Folgendem.
Wir haben angenommen, dafs die gegebene Gleichung nteL Grades,
um dieselbe auf die Formi 1 + -p(x) -- (x) bringen zu können,
durch das Produkt (1 + x)(2 + x) * * (n + x) geteilt werden solle.
Wenn der Grad der Gleichung sich auf n - 1 reduciert, hat man
also den gröfsten Nenner n + x wegzulassen, damit der gröfste von
denen, welche übrig bleiben, in Übereinstimmung mit dem Grade der
Gleichung, gleich n - 1 + x sei. Dazu hat man die verschiedenen
Glieder der Gleichung 1 (+ p(x) - -(x) mrit n + x zu multiplicieren
und zu bewirken, dafs das Produkt durch x- r teilbar sei.
Nun ist aber:
A(n + ) A (n +r) A(n- a) (r- x)
ac+x nr+ + ' (a+r')(a+-x)
Setzt man daher:
A (n-_) __
a +, C6)
so hat man:
(n + x) 9 (x) =(1n+ x) - -- =('n- T-) + (r+-) - -
Setzt man ebenso:
B ('- 1b)
b+r = 1'
so hat man:
(i i+ x) x) =) (n + x) b ( +)2 + + (r x) b T
(,,+x 2),(il~)=(,~ -~- 5~+x z o+~)z +X
Substituiert man diese Werte und beachtet man, dafs
+I a. -= ( (r), -B+- - (.)
a+r b4r
ist, so geht die Gleichung 1 + -p(x)= ) (x) über in:
+ x +( n+,r) ( (r) + ( — ) - -- =- (n + r) (r) +(r — x) x