Zahlentheorie, von Adrien Marie Legendre. Nach 3 aufl. ins deutsche übertragen von H. Maser.

28 Vierter Hauptteil.
~ 4.
Methode zur Aufsuchung des quadratischen Teilers, welcher das
Produkt von mehreren gegebenen quadratischen Teilern enthält.
358.
Aufgabe 1. Wenn zwei quadratische Teiler A, A' einer
und derselben Formel t2+ -- a2 gegeben sind, so soll man den
quadratischen Teiler suchen, welcher ihr Produkt AA' in
sich enthält.
Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem die gegebenen Teiler
die gewöhnliche Form py2 + 2 qyZ + r2 oder die Form y2 -+ qyz + rz2,
in welcher die Ioefficienten ungerade Zahlen sind, besitzen.
Erster Fall. Ist
A = y -- + 2qyz, - ' + r2 ' - + r' 2
so nehmen wir an, dafs die Koefficienten 1p und p' prim zu einander
seien, oder dafs sie wenigstens durch eine passende Vorbereitung zu
relativen Primzahlen gemacht worden seien. Setzt man sodann:
py + qz -- x, p'y' + qz' - x,
so erhält man:
A =- - x - az2, p2 A= x '2 + Z'2,
mithin:
PJ i' ( = (xx + c (s -- x')2
Da aber das Produkt A A' in einem quadratischen Teiler der
Formel t2 + acz2 enthalten sein soll, und da ferner dieses Produkt,
allgemein betrachtet, das besondere Produkt lpp' in sich schliefsen
mufs, so kann man
AA' = pp' y + 2qp YZ + Z 2
p ' - P2 = a
setzen, wodurch man erhält:
pp'AA'= (pp' Y + cpZ)- + a Z'.
Vergleicht man diesen Wert mit dem vorhergehenden, so ergiebt sich:
pp' Y + cpZ = xx' + azz'
Z= xz' x'S.
Setzt man für a seinen Wert pp'4 - P2, so geht die erste dieser
beiden Gleichungen über in:
ppY y + = (x )( - p 'i) -i 2Ipe pz
und substituiert man wieder für x, x' ihre Werte py + qz und